Гидростатика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00026650

Что имеем. В высокий гладкий стакан радиусом $R=4$ см поставили тонкую однородную палочку длиной $\ell=10$ см и массой $M=0{,}9$ г $=0{,}9\cdot 10^{-3}$ кг. Палочка стоит наклонно: нижний конец на дне у стенки, верхний упирается в противоположную стенку. Налили жидкость до высоты $h=4$ см, плотность жидкости — $0{,}75$ от плотности материала палочки. Надо найти, с какой силой верхний конец давит на стенку.

Обоснование модели. Систему отсчёта берём связанной с землёй — инерциальную, всё покоится. Палочка тонкая и однородная, поэтому её силу тяжести прикладываем в середине, а выталкивающую силу — в середине погружённой части. Палочка — твёрдое тело в равновесии, значит применимы оба условия равновесия: сумма сил равна нулю и сумма моментов равна нулю. Стакан гладкий: трения нет, поэтому сила со стороны вертикальной стенки горизонтальна, а сила со стороны дна вертикальна. Жидкость покоится, поэтому на погружённую часть действует сила Архимеда, равная весу вытесненной жидкости. Плотность жидкости меньше плотности палочки, значит палочка не всплывает и опирается на дно. Искомая сила давления палочки на стенку равна по третьему закону Ньютона реакции стенки.

Шаг 1 — геометрия. По горизонтали палочка перекрывает диаметр $d=2R=8$ см, поэтому её угол с горизонтом $\beta$ даёт $$\cos\beta=\frac{8}{10}=0{,}8,\qquad \sin\beta=0{,}6.$$

Шаг 2 — какая часть палочки в жидкости. Погружённая длина $s$ связана с высотой слоя: $$s=\frac{h}{\sin\beta}=\frac{4}{0{,}6}=\frac{20}{3}\approx 6{,}67\ \text{см},\qquad \frac{s}{\ell}=\frac{2}{3}.$$ То есть под жидкостью находится ровно две трети палочки.

Шаг 3 — сила Архимеда. Пусть $\rho$ — плотность материала палочки, $A$ — площадь её сечения, тогда $M=\rho A\ell$, а $$F_A=0{,}75\rho gAs=0{,}75\,Mg\,\frac{s}{\ell}=0{,}75\cdot 0{,}009\cdot\frac{2}{3}=0{,}0045\ \text{Н},$$ где $Mg=0{,}9\cdot 10^{-3}\cdot 10=0{,}009$ Н.

Шаг 4 — правило моментов относительно нижнего конца. Так мы избавляемся от неизвестных реакций дна и нижней стенки. Плечи: у вертикальных $Mg$ и $F_A$ — горизонтальные ($\dfrac{\ell}{2}\cos\beta$ и $\dfrac{s}{2}\cos\beta$), у горизонтальной реакции верхней стенки $F$ — вертикальное ($\ell\sin\beta$): $$F\cdot \ell\sin\beta+F_A\cdot\frac{s}{2}\cos\beta=Mg\cdot\frac{\ell}{2}\cos\beta.$$

Шаг 5 — общая формула. Подставив $F_A=0{,}75Mg\dfrac{s}{\ell}$ и разделив на $\ell\sin\beta$: $$F=\frac{Mg\cos\beta}{2\sin\beta}\left(1-0{,}75\,\frac{s^2}{\ell^2}\right).$$

Шаг 6 — числа. $\dfrac{Mg}{2}\cdot\dfrac{\cos\beta}{\sin\beta}=0{,}0045\cdot\dfrac{4}{3}=0{,}006$ Н, а скобка равна $1-0{,}75\cdot\left(\dfrac{2}{3}\right)^2=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$. Значит $$F=0{,}006\cdot\frac{2}{3}=0{,}004\ \text{Н}.$$ По третьему закону Ньютона палочка давит на стенку с такой же силой $0{,}004$ Н.

Проверка: без жидкости сила была бы $0{,}006$ Н, а выталкивающая сила «подпёрла» палочку и уменьшила давление на стенку в полтора раза. Вертикально дно держит $Mg-F_A=0{,}009-0{,}0045=0{,}0045$ Н — величина положительная, палочка действительно остаётся на дне.