Решение
Дано:
$r = 4 \text{ см} = 0{,}04 \text{ м}, \quad L = 10 \text{ см} = 0{,}1 \text{ м}$
$m = 0{,}9 \text{ г} = 9 \cdot 10^{-4} \text{ кг}$
$h = 4 \text{ см} = 0{,}04 \text{ м}, \quad \rho_{\text{ж}} = 0{,}75\rho_{\text{пал}}$
Найти:
$F$ — ?
Решение:
Палочка опирается нижним концом на дно стакана (точка O), верхним — на стенку стакана (точка A). Стенки гладкие, поэтому в точках контакта действуют только нормальные реакции опоры.
Угол наклона палочки: палочка упирается в противоположные стенки, расстояние между точками контакта по горизонтали $= 2r = 0{,}08$ м:
$$\cos\alpha = \frac{2r}{L} = \frac{0{,}08}{0{,}1} = 0{,}8 \implies \alpha \approx 36{,}87°$$
Силы, действующие на палочку:
- $mg = 9 \cdot 10^{-3} \text{ Н}$ — сила тяжести в центре масс
- $F_A$ — реакция стенки в точке A (горизонтально)
- $N$ — реакция дна в точке O (вертикально)
- $F_{\text{Арх}}$ — сила Архимеда (погружённая часть)
Погружённая часть палочки (высота жидкости $h = 0{,}04$ м):
$$l_{\text{погр}} = \frac{h}{\sin\alpha} = \frac{0{,}04}{0{,}6} = \frac{0{,}04}{0{,}6} \approx 0{,}0667 \text{ м}$$
Центр погружённой части на расстоянии $l_{\text{погр}}/2$ от нижнего конца.
Уравнение моментов относительно точки O (нижний конец):
$$F_A \cdot L\sin\alpha = mg \cdot \frac{L}{2}\cos\alpha - F_{\text{Арх}} \cdot \frac{l_{\text{погр}}}{2}\cos\alpha$$
$$F_{\text{Арх}} = 0{,}75\rho_{\text{пал}} \cdot V_{\text{погр}} \cdot g = 0{,}75 \cdot \frac{m}{V_{\text{пал}}} \cdot \frac{l_{\text{погр}}}{L} V_{\text{пал}} \cdot g = 0{,}75\frac{m l_{\text{погр}}}{L} g$$
Подставляя в уравнение моментов:
$$F_A = \frac{mg\cos\alpha}{2\sin\alpha} - \frac{0{,}75 m g l_{\text{погр}} \cos\alpha}{2L\sin\alpha}$$
$$F_A = \frac{mg\cos\alpha}{2\sin\alpha}\left(1 - \frac{0{,}75 \cdot l_{\text{погр}}}{L}\right)$$
Подставляем числа:
$$F_A = \frac{9\cdot10^{-4} \cdot 10 \cdot 0{,}8}{2 \cdot 0{,}6}\left(1 - 0{,}75 \cdot 0{,}667\right)$$
$$F_A \approx 6 \cdot 10^{-3} - 2 \cdot 10^{-3} = 4 \cdot 10^{-3} \text{ Н} = 4 \text{ мН}$$
По 3-му закону Ньютона, сила давления палочки на стенку $F = F_A = 4 \text{ мН}$.
