ID: 00005178
Изготовленная из соснового дерева тонкая прямая однородная палочка объемом $V_0$ = 27,2 $см^3$ закреплена за свой верхний конец на горизонтальной оси, вокруг которой она может вращаться в вертикальной плоскости. К нижнему концу этой палочки на тонкой легкой нити привязан алюминиевый шарик. Шарик и нижняя часть палочки погружены в сосуд с водой, причем ниже уровня воды располагается ровно половина палочки, и шарик не касается дна сосуда.
При этом палочка наклонена под некоторым углом к горизонту, и вся система находится в равновесии. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на палочку и на шарик. Найдите объем V шарика. Обоснуйте применимость используемых законов к решению задачи.
Ответ дайте в $см^3$
Источник: ФИПИ
Палочка из сосны закреплена шарнирно за верхний конец и может поворачиваться. Нижняя её половина и подвешенный к ней алюминиевый шарик погружены в воду. Система в равновесии, значит сумма моментов сил относительно верхней оси равна нулю. Все силы вертикальны, поэтому их плечи пропорциональны расстоянию вдоль палочки (общий множитель $\sin\varphi$ сокращается).
Силы и плечи. Вес палочки $\rho_с V_0 g$ в её центре (на $\frac{L}{2}$). Архимедова сила на погружённую половину $\rho_в\frac{V_0}{2}g$ — в центре этой половины (на $\frac{3L}{4}$). Шарик на конце (на $L$) даёт «утяжеление» $(\rho_{ал}-\rho_в)Vg$ вниз.
Условие равновесия (моменты относительно оси). Выталкивающий момент палочки уравновешивает вес палочки и шарика: $\rho_в\dfrac{V_0}{2}\cdot\dfrac{3L}{4}=\rho_с V_0\cdot\dfrac{L}{2}+(\rho_{ал}-\rho_в)V\cdot L$. Сократив $L$ и подставив ($\rho_в=1$, $\rho_с=0{,}4$, $\rho_{ал}=2{,}7\ \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$, $V_0=27{,}2$ см³): $10{,}2=5{,}44+1{,}7V$, откуда $V=\dfrac{4{,}76}{1{,}7}\approx2{,}8$ см³.
$V\approx2{,}8$ см³