Гидростатика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00005178

Обоснование.

1. Систему отсчёта, связанную с Землёй, будем считать инерциальной (ИСО).

2. Будем считать палочку абсолютно твёрдым телом. Условие равновесия твёрдого тела, которое может вращаться вокруг некоторой оси, — равенство нулю суммы моментов всех сил, приложенных к телу, относительно этой оси.

3. Палочка тонкая, поэтому объём погружённой в воду части палочки можно считать прямо пропорциональным длине этой части.

4. Нить тонкая, поэтому можно пренебречь действующей на неё силой Архимеда.

5. Нить лёгкая, поэтому модуль силы натяжения нити в любой её точке одинаков, в частности: $|\vec{T}_1| = |\vec{T}_2| = T$ (см. рисунок в решении).

6. Груз не касается дна сосуда, поэтому на него со стороны этого дна не действует сила реакции.

Перейдём к решению.

1. Покажем на рисунке силы, действующие на палочку и на шарик. На палочку массой $M$ действуют приложенная к её середине сила тяжести $M\vec{g}$, приложенная к середине погружённой части сила Архимеда $\vec{F}_{A2}$, сила натяжения нити $\vec{T}1$ и сила реакции оси $\vec{N}$ (направление этой силы может быть противоположным, но для решения данной задачи это несущественно).

На шарик массой $m$ действуют сила тяжести $m\vec{g}$, сила Архимеда $\vec{F}{A1}$ и сила натяжения нити $\vec{T}_2$.

2. Направим ось $OX$ вниз и запишем условие равновесия шарика (второй закон Ньютона) в проекции на эту ось: $mg = F_{A1} + T$. Учтём, что $F_{A1} = \rho_0 g V$ и $m = \rho_1 V$, где $V$ — искомый объём шарика, $\rho_0 = 1$ г/см³ — плотность воды, $\rho_1 = 2{,}7$ г/см³ — плотность алюминия.

3. Пусть палочка длиной $L$ в равновесном состоянии составляет с горизонтом угол $\alpha$. Запишем для палочки уравнение моментов относительно её оси вращения $O$, считая положительным направлением вращения поворот против часовой стрелки:

$Mg\dfrac{L}{2}\cos\alpha + TL\cos\alpha - F_{A2}\dfrac{3L}{4}\cos\alpha = 0$

Учтём, что $M = \rho_2 V_0$, где $\rho_2 = 0{,}4$ г/см³ — плотность соснового дерева, и $F_{A2} = \dfrac{\rho_0 g V_0}{2}$.

4. Выражая силу натяжения нити $T = gV(\rho_1 - \rho_0)$ и подставляя её в уравнение моментов, получим:

$\dfrac{1}{2}\rho_2 V_0 + V(\rho_1 - \rho_0) - \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{\rho_0 V_0}{2} = 0$

Отсюда

$V = \dfrac{3\rho_0 - 4\rho_2}{8(\rho_1 - \rho_0)}V_0 = \dfrac{3 \cdot 1 - 4 \cdot 0{,}4}{8(2{,}7 - 1)} \cdot 27{,}2 = 2{,}8$ см³

Ответ:

2,8