Гидростатика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00026649

Разберём картинку. В высокий гладкий стакан радиусом $R=4$ см поставили тонкую однородную палочку длиной $\ell=10$ см и массой $M=1{,}8$ г $=1{,}8\cdot 10^{-3}$ кг. Палочка стоит наискось: нижний конец упирается в дно у самой стенки, верхний прислонён к противоположной стенке. В стакан наливают жидкость, плотность которой составляет $0{,}75$ от плотности материала палочки. Надо подобрать высоту $h$ жидкости так, чтобы верхний конец давил на стенку с силой $F=0{,}008$ Н.

Обоснование модели. Систему отсчёта берём связанной с землёй — инерциальную, всё покоится. Палочка тонкая и однородная, поэтому её силу тяжести прикладываем в середине, а выталкивающую силу — в середине погружённой части. Палочка — твёрдое тело в равновесии, значит нужны оба условия: сумма сил равна нулю и сумма моментов относительно любой оси равна нулю. Стакан гладкий, трения нет, поэтому сила со стороны вертикальной стенки направлена горизонтально (перпендикулярно стенке), а сила со стороны дна — вертикально. Жидкость покоится, поэтому на погружённую часть действует сила Архимеда, равная весу вытесненной жидкости. Плотность жидкости меньше плотности палочки, поэтому палочка не всплывает и нижний конец остаётся прижатым ко дну.

Шаг 1 — геометрия. Палочка тянется от нижнего края стенки до противоположной стенки, поэтому по горизонтали она перекрывает весь диаметр $d=2R=8$ см. Значит $$\cos\beta=\frac{d}{\ell}=\frac{8}{10}=0{,}8,\qquad \sin\beta=0{,}6,$$ где $\beta$ — угол наклона палочки к горизонту. Проверка: вертикальный подъём палочки $\ell\sin\beta=6$ см, стакан высокий — помещается.

Шаг 2 — обозначения и сила Архимеда. Пусть $s$ — длина погружённой (нижней) части палочки. Она связана с высотой жидкости: $h=s\sin\beta$. Плотность палочки $\rho$, площадь её сечения $A$, тогда $M=\rho A\ell$, а сила Архимеда $$F_A=0{,}75\rho\, g\, A s=0{,}75\,Mg\,\frac{s}{\ell}.$$ Удобно: неизвестные $\rho$ и $A$ ушли, остались только $M$, $s$ и $\ell$.

Шаг 3 — правило моментов относительно нижнего конца. В нижнем конце сидят обе реакции дна и стенки — беря ось там, мы от них избавляемся. Плечо вертикальной силы тяжести — горизонтальное расстояние до середины, то есть $\dfrac{\ell}{2}\cos\beta$; плечо вертикальной силы Архимеда — $\dfrac{s}{2}\cos\beta$; плечо горизонтальной силы $F$ со стороны верхней стенки — вертикальное, то есть $\ell\sin\beta$: $$F\cdot \ell\sin\beta+F_A\cdot\frac{s}{2}\cos\beta=Mg\cdot\frac{\ell}{2}\cos\beta.$$

Шаг 4 — приводим к удобному виду. Подставляем $F_A=0{,}75Mg\dfrac{s}{\ell}$ и делим на $\ell\sin\beta$: $$F=\frac{Mg\cos\beta}{2\sin\beta}\left(1-0{,}75\,\frac{s^2}{\ell^2}\right).$$ Смысл формулы простой: без жидкости палочка давила бы на стенку с силой $\dfrac{Mg}{2}\mathrm{ctg}\,\beta$, а жидкость эту силу уменьшает — чем глубже погружение, тем сильнее.

Шаг 5 — числа. $Mg=1{,}8\cdot 10^{-3}\cdot 10=0{,}018$ Н, $\mathrm{ctg}\,\beta=\dfrac{0{,}8}{0{,}6}=\dfrac{4}{3}$, поэтому $\dfrac{Mg}{2}\mathrm{ctg}\,\beta=0{,}009\cdot\dfrac{4}{3}=0{,}012$ Н. Тогда $$0{,}008=0{,}012\left(1-0{,}75\frac{s^2}{\ell^2}\right)\ \Longrightarrow\ 1-0{,}75\frac{s^2}{\ell^2}=\frac{2}{3}\ \Longrightarrow\ \frac{s^2}{\ell^2}=\frac{4}{9}\ \Longrightarrow\ s=\frac{2}{3}\ell.$$

Шаг 6 — переходим к высоте жидкости. $s=\dfrac{2}{3}\cdot 10=\dfrac{20}{3}\approx 6{,}67$ см, и $$h=s\sin\beta=\frac{20}{3}\cdot 0{,}6=4\ \text{см}=0{,}04\ \text{м}.$$

Проверим себя: погружено две трети палочки, значит $F_A=0{,}75\cdot 0{,}018\cdot\dfrac{2}{3}=0{,}009$ Н — ровно половина веса. Дно при этом держит $0{,}018-0{,}009=0{,}009$ Н, то есть сила прижатия положительна, палочка не всплывает. Сходится.