Задание 26 ЕГЭ по физике: В гладкий высокий стакан радиусом 4 см поставили тонкую…

Разберём картинку. В высокий гладкий стакан радиусом R=4 см поставили тонкую однородную палочку длиной \ell=10 см и массой M=1{,}8 г =1{,}8\cdot 10^{-3} кг. Палочка стоит наискось: нижний конец упирается в дно у самой стенки, верхний прислонён к противоположной стенке. В стакан наливают жидкость, плотность которой составляет 0{,}75 от плотности материала палочки. Надо подобрать высоту h жидкости так, чтобы верхний конец давил на стенку с силой F=0{,}008 Н.

Обоснование модели. Систему отсчёта берём связанной с землёй — инерциальную, всё покоится. Палочка тонкая и однородная, поэтому её силу тяжести прикладываем в середине, а выталкивающую силу — в середине погружённой части. Палочка — твёрдое тело в равновесии, значит нужны оба условия: сумма сил равна нулю и сумма моментов относительно любой оси равна нулю. Стакан гладкий, трения нет, поэтому сила со стороны вертикальной стенки направлена горизонтально (перпендикулярно стенке), а сила со стороны дна — вертикально. Жидкость покоится, поэтому на погружённую часть действует сила Архимеда, равная весу вытесненной жидкости. Плотность жидкости меньше плотности палочки, поэтому палочка не всплывает и нижний конец остаётся прижатым ко дну.

Шаг 1 — геометрия. Палочка тянется от нижнего края стенки до противоположной стенки, поэтому по горизонтали она перекрывает весь диаметр d=2R=8 см. Значит \cos\beta=\frac{d}{\ell}=\frac{8}{10}=0{,}8,\qquad \sin\beta=0{,}6, где \beta — угол наклона палочки к горизонту. Проверка: вертикальный подъём палочки \ell\sin\beta=6 см, стакан высокий — помещается.

Шаг 2 — обозначения и сила Архимеда. Пусть s — длина погружённой (нижней) части палочки. Она связана с высотой жидкости: h=s\sin\beta. Плотность палочки \rho, площадь её сечения A, тогда M=\rho A\ell, а сила Архимеда F_A=0{,}75\rho\, g\, A s=0{,}75\,Mg\,\frac{s}{\ell}. Удобно: неизвестные \rho и A ушли, остались только M, s и \ell.

Шаг 3 — правило моментов относительно нижнего конца. В нижнем конце сидят обе реакции дна и стенки — беря ось там, мы от них избавляемся. Плечо вертикальной силы тяжести — горизонтальное расстояние до середины, то есть \dfrac{\ell}{2}\cos\beta; плечо вертикальной силы Архимеда — \dfrac{s}{2}\cos\beta; плечо горизонтальной силы F со стороны верхней стенки — вертикальное, то есть \ell\sin\beta: F\cdot \ell\sin\beta+F_A\cdot\frac{s}{2}\cos\beta=Mg\cdot\frac{\ell}{2}\cos\beta.

Шаг 4 — приводим к удобному виду. Подставляем F_A=0{,}75Mg\dfrac{s}{\ell} и делим на \ell\sin\beta: F=\frac{Mg\cos\beta}{2\sin\beta}\left(1-0{,}75\,\frac{s^2}{\ell^2}\right). Смысл формулы простой: без жидкости палочка давила бы на стенку с силой \dfrac{Mg}{2}\mathrm{ctg}\,\beta, а жидкость эту силу уменьшает — чем глубже погружение, тем сильнее.

Шаг 5 — числа. Mg=1{,}8\cdot 10^{-3}\cdot 10=0{,}018 Н, \mathrm{ctg}\,\beta=\dfrac{0{,}8}{0{,}6}=\dfrac{4}{3}, поэтому \dfrac{Mg}{2}\mathrm{ctg}\,\beta=0{,}009\cdot\dfrac{4}{3}=0{,}012 Н. Тогда 0{,}008=0{,}012\left(1-0{,}75\frac{s^2}{\ell^2}\right)\ \Longrightarrow\ 1-0{,}75\frac{s^2}{\ell^2}=\frac{2}{3}\ \Longrightarrow\ \frac{s^2}{\ell^2}=\frac{4}{9}\ \Longrightarrow\ s=\frac{2}{3}\ell.

Шаг 6 — переходим к высоте жидкости. s=\dfrac{2}{3}\cdot 10=\dfrac{20}{3}\approx 6{,}67 см, и h=s\sin\beta=\frac{20}{3}\cdot 0{,}6=4\ \text{см}=0{,}04\ \text{м}.

Проверим себя: погружено две трети палочки, значит F_A=0{,}75\cdot 0{,}018\cdot\dfrac{2}{3}=0{,}009 Н — ровно половина веса. Дно при этом держит 0{,}018-0{,}009=0{,}009 Н, то есть сила прижатия положительна, палочка не всплывает. Сходится.