ID: 00026332
Прямолинейный проводник с током и проводящая рамка лежат в плоскости, перпендикулярной линиям индукции однородного магнитного поля. Опираясь на законы физики, укажите направление силы, действующей на рамку , когда величина магнитной индукции $\overset{\to}{B}$ уменьшается .
Источник: ФИПИ
Что изображено на рисунке. Слева вертикально стоит длинный прямой проводник, ток $I$ в нём течёт сверху вниз. Правее находится квадратная проводящая рамка. Вся картина лежит в плоскости листа, а однородное магнитное поле с индукцией $\vec B$ перпендикулярно этой плоскости и направлено за лист, «от нас» — на это указывает значок с крестиком. По условию модуль $\vec B$ уменьшается, и нужно найти направление силы, действующей на рамку.
Сразу оговорим план и модель. Задача распадается на две независимые части. Сначала мы выясняем, какой ток течёт по рамке, — это чистая электромагнитная индукция, и решает её правило Ленца. Потом выясняем, куда этот ток толкает рамку, — это уже действие магнитного поля на проводник с током, то есть сила Ампера. Важная деталь, которая делает задачу решаемой: замкнутый контур с током в однородном поле не испытывает результирующей силы (силы, действующие на противоположные стороны, равны и противоположны — поле-то везде одинаковое). Значит внешнее однородное поле $\vec B$ отвечает только за появление тока, а вот саму силу создаёт неоднородное поле прямого проводника: оно убывает с расстоянием по закону $B_\text{пр}\sim\dfrac{1}{r}$, и потому по-разному действует на ближнюю и дальнюю стороны рамки. Именно эта неоднородность и даёт ненулевую равнодействующую.
Шаг 1 — что происходит с магнитным потоком. Поток через рамку создаётся внешним полем: $\Phi=BS$, где $S$ — площадь рамки (она не меняется, рамка неподвижна). Поле направлено за лист и слабеет, значит поток «за лист» убывает. Поле самого проводника с током тоже пронизывает рамку, но ток $I$ постоянен, поэтому его вклад в поток не меняется и на индукцию не влияет.
Шаг 2 — направление индукционного тока. По правилу Ленца индукционный ток всегда противодействует причине, его вызвавшей. Причина здесь — убывание потока «за лист», значит ток будет стремиться этот поток поддержать: собственное магнитное поле тока внутри рамки должно быть направлено туда же, куда внешнее, то есть за плоскость рисунка. Теперь применим правило правой руки: обхватим рамку правой рукой так, чтобы большой палец смотрел за лист; тогда согнутые пальцы покажут направление обхода — по часовой стрелке. Значит по левой стороне рамки ток идёт снизу вверх, по верхней — слева направо, по правой — сверху вниз, по нижней — справа налево.
Шаг 3 — какое поле создаёт прямой проводник в области рамки. Ток в проводнике течёт вниз. Обхватим проводник правой рукой так, чтобы большой палец смотрел вниз, по току; тогда согнутые пальцы покажут, что справа от проводника (там, где рамка) линии индукции выходят из плоскости листа, «на нас». И чем дальше от проводника, тем это поле слабее.
Шаг 4 — сила на левую сторону рамки. По ней ток идёт вверх, а по проводнику — вниз: токи антипараллельны. Два прямых проводника с противоположно направленными токами отталкиваются, значит на левую сторону рамки действует сила, направленная вправо, от проводника. Тот же вывод даёт и правило левой руки для силы Ампера с полем «на нас».
Шаг 5 — сила на правую сторону рамки. По ней ток идёт вниз, то есть в ту же сторону, что и ток в проводнике. Сонаправленные токи притягиваются, поэтому на правую сторону действует сила влево, к проводнику. Но правая сторона удалена от проводника сильнее, а поле прямого тока убывает как $\dfrac{1}{r}$, поэтому по модулю эта сила меньше, чем сила отталкивания на ближней стороне.
Шаг 6 — верхняя и нижняя стороны. Они расположены на одинаковом наборе расстояний от проводника, токи в них противоположны (слева направо и справа налево), поэтому действующие на них силы Ампера равны по модулю и противоположны по направлению — они компенсируют друг друга и в равнодействующую ничего не вносят.
Шаг 7 — складываем. Остаются две горизонтальные силы: бо́льшая — вправо (на ближнюю сторону) и меньшая — влево (на дальнюю). Их сумма направлена вправо, от проводника. Рамку отталкивает.
И всё сходится по смыслу: убывающее поле заставило рамку «включить» собственный ток, а дальше сработала обычная неоднородность поля прямого тока — ближняя сторона всегда чувствует поле сильнее, и именно её взаимодействие с проводником определяет, куда поедет рамка.
Сила, действующая на рамку, направлена вправо — от прямолинейного проводника с током (рамка отталкивается от проводника).
Обоснование в два шага. 1) Направление индукционного тока. Внешнее поле $\vec B$ направлено «от нас», за плоскость рисунка, и его модуль убывает, значит поток через рамку убывает. По правилу Ленца индукционный ток течёт так, чтобы препятствовать этому убыванию, то есть его собственное поле внутри рамки должно быть направлено туда же, куда внешнее, — за плоскость рисунка. По правилу правой руки такому полю отвечает ток, идущий по рамке по часовой стрелке.
2) Направление силы. В однородном внешнем поле суммарная сила Ампера, действующая на замкнутый контур, равна нулю, поэтому остаётся только взаимодействие рамки с неоднородным полем прямого проводника. При токе по часовой стрелке ближняя к проводнику (левая) сторона рамки несёт ток вверх, а ток в проводнике направлен вниз — токи противоположны, и эти проводники отталкиваются. Дальняя (правая) сторона рамки несёт ток вниз, то есть сонаправлена с током проводника и притягивается, но она дальше, а поле прямого тока убывает с расстоянием ($B\sim\dfrac{1}{r}$), поэтому притяжение слабее отталкивания. Силы, действующие на верхнюю и нижнюю стороны, равны по модулю и противоположны по направлению и взаимно компенсируются. Итог: равнодействующая направлена от проводника, то есть вправо.