Идея

Сначала разберёмся со схемой по рисунку. Источник через катушку L соединён с резистором R_1, дальше идёт резистор R_2, и возвращается к источнику. Ключ K подключён параллельно резистору R_2 (одним проводом — к точке между R_1 и R_2, другим — к нижнему проводу цепи). То есть K — это «обходная дорожка» в обход R_2.

Что было до замыкания (ключ разомкнут)

Обходной дорожки нет, ток идёт по единственному пути: источник → катушка → R_1 → R_2 → источник. Резисторы соединены последовательно, их сопротивления складываются: R_1+R_2 = 2R. По закону Ома установившийся ток

I_0 = \dfrac{\mathcal{E}}{R_1+R_2} = \dfrac{\mathcal{E}}{2R}.

Напряжение на R_1: U_1^{(0)} = I_0 R_1 = \dfrac{\mathcal{E}}{2R}\cdot R = \dfrac{\mathcal{E}}{2}.

Что станет после замыкания ключа

Замкнутый ключ — это провод без сопротивления, и он подключён параллельно R_2. Ток «ленив» и пойдёт по пути наименьшего сопротивления: через ключ, а не через R_2. Фактически R_2 оказывается закорочен (зашунтирован), напряжение на нём становится нулевым, и в цепи остаётся работать только R_1. Новое установившееся значение тока:

I_1 = \dfrac{\mathcal{E}}{R_1} = \dfrac{\mathcal{E}}{R} = 2 I_0.

Напряжение на R_1 теперь: U_1^{(1)} = I_1 R_1 = \dfrac{\mathcal{E}}{R}\cdot R = \mathcal{E}. (Логично: R_2 выключен, и почти вся ЭДС падает на R_1.)

Почему «плавно», а не скачком — роль катушки

Здесь и кроется «изюминка» задачи и причина, по которой стоит катушка L. Ток через катушку не может измениться мгновенно: при попытке тока резко вырасти в катушке возникает ЭДС самоиндукции, которая по правилу Ленца противодействует нарастанию тока. Поэтому после замыкания ключа ток не прыгает сразу до \mathcal{E}/R, а плавно нарастает от \mathcal{E}/2R к \mathcal{E}/R. Вместе с током плавно растёт и напряжение на R_1 (ведь U_1 = I R_1) — от \mathcal{E}/2 к \mathcal{E}.

Вывод

После замыкания ключа и сила тока в цепи, и напряжение на R_1 увеличиваются (каждое — в два раза: ток с \mathcal{E}/2R до \mathcal{E}/R, напряжение с \mathcal{E}/2 до \mathcal{E}). Из-за самоиндукции катушки рост происходит не мгновенно, а постепенно.

Использованные законы: закон Ома для замкнутой цепи; правила последовательного соединения и короткого замыкания (шунтирования) резистора ключом; явление самоиндукции и правило Ленца (катушка препятствует мгновенному изменению тока).