ID: 00017537
Катушка, обладающая индуктивностью $L$, соединена последовательно с источником постоянного тока с ЭДС $\mathcal{E}$ и резисторами $R_1$ и $R_2$, имеющими одинаковое сопротивление $R_1 = R_2 = R$, как показано на рисунке. В начальный момент ключ $K$ в цепи разомкнут. Как изменятся сила тока в цепи и напряжение на участке цепи, содержащем резистор $R_1$, после замыкания ключа? Ответ поясните, опираясь на законы электродинамики. Внутренним сопротивлением источника тока и сопротивлением катушки пренебречь.
Источник: ФИПИ
Сначала разберёмся со схемой по рисунку. Источник через катушку $L$ соединён с резистором $R_1$, дальше идёт резистор $R_2$, и возвращается к источнику. Ключ $K$ подключён параллельно резистору $R_2$ (одним проводом — к точке между $R_1$ и $R_2$, другим — к нижнему проводу цепи). То есть $K$ — это «обходная дорожка» в обход $R_2$.
Обходной дорожки нет, ток идёт по единственному пути: источник → катушка → $R_1$ → $R_2$ → источник. Резисторы соединены последовательно, их сопротивления складываются: $R_1+R_2 = 2R$. По закону Ома установившийся ток
$I_0 = \dfrac{\mathcal{E}}{R_1+R_2} = \dfrac{\mathcal{E}}{2R}.$
Напряжение на $R_1$: $U_1^{(0)} = I_0 R_1 = \dfrac{\mathcal{E}}{2R}\cdot R = \dfrac{\mathcal{E}}{2}.$
Замкнутый ключ — это провод без сопротивления, и он подключён параллельно $R_2$. Ток «ленив» и пойдёт по пути наименьшего сопротивления: через ключ, а не через $R_2$. Фактически $R_2$ оказывается закорочен (зашунтирован), напряжение на нём становится нулевым, и в цепи остаётся работать только $R_1$. Новое установившееся значение тока:
$I_1 = \dfrac{\mathcal{E}}{R_1} = \dfrac{\mathcal{E}}{R} = 2 I_0.$
Напряжение на $R_1$ теперь: $U_1^{(1)} = I_1 R_1 = \dfrac{\mathcal{E}}{R}\cdot R = \mathcal{E}.$ (Логично: $R_2$ выключен, и почти вся ЭДС падает на $R_1$.)
Здесь и кроется «изюминка» задачи и причина, по которой стоит катушка $L$. Ток через катушку не может измениться мгновенно: при попытке тока резко вырасти в катушке возникает ЭДС самоиндукции, которая по правилу Ленца противодействует нарастанию тока. Поэтому после замыкания ключа ток не прыгает сразу до $\mathcal{E}/R$, а плавно нарастает от $\mathcal{E}/2R$ к $\mathcal{E}/R$. Вместе с током плавно растёт и напряжение на $R_1$ (ведь $U_1 = I R_1$) — от $\mathcal{E}/2$ к $\mathcal{E}$.
После замыкания ключа и сила тока в цепи, и напряжение на $R_1$ увеличиваются (каждое — в два раза: ток с $\mathcal{E}/2R$ до $\mathcal{E}/R$, напряжение с $\mathcal{E}/2$ до $\mathcal{E}$). Из-за самоиндукции катушки рост происходит не мгновенно, а постепенно.
Использованные законы: закон Ома для замкнутой цепи; правила последовательного соединения и короткого замыкания (шунтирования) резистора ключом; явление самоиндукции и правило Ленца (катушка препятствует мгновенному изменению тока).
Сила тока в цепи увеличится (с $\mathcal{E}/2R$ до $\mathcal{E}/R$), напряжение на $R_1$ тоже увеличится (с $\mathcal{E}/2$ до $\mathcal{E}$); из-за катушки оба изменения происходят не мгновенно, а плавно нарастают.