ID: 00026315
В одном сосуде под поршнем в объёме $V_{0}$ при комнатной температуре находится только насыщенный водяной пар и вода, которая занимает малый объём. В другом сосуде под поршнем в объёме $V_{0}$ при том же давлении $p_{0}$ находится сухой воздух. Воздух и водяной пар изотермически сжимают так, что объём под поршнем уменьшается в 2 раза. Постройте графики этих двух процессов в переменных p – V . Опираясь на законы молекулярной физики, объясните построение графиков.
Источник: ФИПИ
Разберём сюжет. Есть два сосуда с поршнями, в каждом объём $V_0$ и одно и то же начальное давление $p_0$. В первом под поршнем сидит насыщенный водяной пар, и рядом с ним есть немного жидкой воды. Во втором — просто сухой воздух. Оба сжимают вдвое, причём медленно и при постоянной температуре (изотермически). Нужно понять, как в каждом случае будет расти давление, и нарисовать оба процесса на одной диаграмме $p$–$V$.
Отдельно обоснуем, какие модели тут работают, — именно за это ставится балл. Сухой воздух при комнатной температуре и обычном давлении можно считать идеальным газом: молекулы далеки друг от друга, их собственный объём и силы притяжения между ними пренебрежимо малы, поэтому для него справедливо уравнение состояния $pV=\nu RT$. А вот пар над жидкостью — это принципиально другая система: пар находится в динамическом равновесии со своей жидкостью (сколько молекул за секунду вылетает с поверхности воды, столько же и возвращается). Такой пар называется насыщенным, и для него модель идеального газа с фиксированным числом молекул не годится: число молекул пара может меняться за счёт испарения и конденсации. Ключевое свойство насыщенного пара: его давление (и плотность) определяются только температурой и не зависят от объёма, который пар занимает.
Шаг 1 — воздух. Количество вещества воздуха постоянно, температура постоянна, значит из $pV=\nu RT$ получаем закон Бойля—Мариотта: $$pV=\text{const},\qquad p_0V_0=p_1\cdot\frac{V_0}{2}.$$ Отсюда $$p_1=\frac{p_0V_0}{V_0/2}=2p_0.$$ Давление воздуха выросло вдвое. На диаграмме $p$–$V$ изотерма идеального газа — это гипербола $p=\dfrac{\text{const}}{V}$, поэтому график воздуха — плавно поднимающаяся влево дуга гиперболы от точки $(V_0;\,p_0)$ до точки $\left(\dfrac{V_0}{2};\,2p_0\right)$.
Шаг 2 — насыщенный пар. Начинаем сжимать: концентрация молекул пара на мгновение подрастает, равновесие нарушается, конденсация начинает опережать испарение — и часть пара превращается в воду. Это продолжается до тех пор, пока концентрация не вернётся к своему равновесному значению для данной температуры. Температура по условию не меняется, значит и равновесная концентрация та же, а давление считается как $p=nkT$ — обе величины в правой части прежние. Итог: давление пара остаётся равным $p_0$ на всём пути сжатия. Воды в сосуде становится больше, пара — меньше, но давление стоит на месте.
Шаг 3 — рисуем оба графика. Проводим оси: по горизонтали $V$, по вертикали $p$. Отмечаем общую начальную точку $(V_0;\,p_0)$ и вертикальную линию $V=\dfrac{V_0}{2}$. От начальной точки влево ведём две линии: для пара — строго горизонтальный отрезок на уровне $p_0$, который заканчивается в точке $\left(\dfrac{V_0}{2};\,p_0\right)$; для воздуха — дугу гиперболы, поднимающуюся до точки $\left(\dfrac{V_0}{2};\,2p_0\right)$. Линия воздуха идёт выше линии пара везде, кроме общего начала.
И всё сходится по смыслу: у воздуха молекулам деваться некуда, их число фиксировано, поэтому теснота сразу превращается в рост давления; у пара есть «аварийный выход» — конденсация, и он держит давление постоянным до тех пор, пока вода в сосуде вообще есть.
Для сухого воздуха график в осях $p$–$V$ — участок гиперболы (изотермы): при уменьшении объёма от $V_0$ до $\dfrac{V_0}{2}$ давление растёт от $p_0$ до $2p_0$, потому что воздух ведёт себя как идеальный газ и подчиняется закону Бойля—Мариотта $pV=\text{const}$.
Для насыщенного пара над водой график — горизонтальный отрезок на уровне $p=p_0$ от $V_0$ до $\dfrac{V_0}{2}$: давление остаётся неизменным. Причина в том, что давление насыщенного пара зависит только от температуры и не зависит от объёма: при сжатии пар остаётся насыщенным, а «лишняя» его часть конденсируется в воду, так что концентрация молекул пара, а с ней и давление, не меняются.