ID: 00026315
В одном сосуде под поршнем в объёме V _{0} при комнатной температуре находится только насыщенный водяной пар и вода, которая занимает малый объём. В другом сосуде под поршнем в объёме V _{0} при том же давлении p _{0} находится сухой воздух. Воздух и водяной пар изотермически сжимают так, что объём под поршнем уменьшается в 2 раза. Постройте графики этих двух процессов в переменных p – V . Опираясь на законы молекулярной физики, объясните построение графиков.
Источник: ФИПИ
Разберём сюжет. Есть два сосуда с поршнями, в каждом объём V_0 и одно и то же начальное давление p_0. В первом под поршнем сидит насыщенный водяной пар, и рядом с ним есть немного жидкой воды. Во втором — просто сухой воздух. Оба сжимают вдвое, причём медленно и при постоянной температуре (изотермически). Нужно понять, как в каждом случае будет расти давление, и нарисовать оба процесса на одной диаграмме p–V.
Отдельно обоснуем, какие модели тут работают, — именно за это ставится балл. Сухой воздух при комнатной температуре и обычном давлении можно считать идеальным газом: молекулы далеки друг от друга, их собственный объём и силы притяжения между ними пренебрежимо малы, поэтому для него справедливо уравнение состояния pV=\nu RT. А вот пар над жидкостью — это принципиально другая система: пар находится в динамическом равновесии со своей жидкостью (сколько молекул за секунду вылетает с поверхности воды, столько же и возвращается). Такой пар называется насыщенным, и для него модель идеального газа с фиксированным числом молекул не годится: число молекул пара может меняться за счёт испарения и конденсации. Ключевое свойство насыщенного пара: его давление (и плотность) определяются только температурой и не зависят от объёма, который пар занимает.
Шаг 1 — воздух. Количество вещества воздуха постоянно, температура постоянна, значит из pV=\nu RT получаем закон Бойля—Мариотта: pV=\text{const},\qquad p_0V_0=p_1\cdot\frac{V_0}{2}. Отсюда p_1=\frac{p_0V_0}{V_0/2}=2p_0. Давление воздуха выросло вдвое. На диаграмме p–V изотерма идеального газа — это гипербола p=\dfrac{\text{const}}{V}, поэтому график воздуха — плавно поднимающаяся влево дуга гиперболы от точки (V_0;\,p_0) до точки \left(\dfrac{V_0}{2};\,2p_0\right).
Шаг 2 — насыщенный пар. Начинаем сжимать: концентрация молекул пара на мгновение подрастает, равновесие нарушается, конденсация начинает опережать испарение — и часть пара превращается в воду. Это продолжается до тех пор, пока концентрация не вернётся к своему равновесному значению для данной температуры. Температура по условию не меняется, значит и равновесная концентрация та же, а давление считается как p=nkT — обе величины в правой части прежние. Итог: давление пара остаётся равным p_0 на всём пути сжатия. Воды в сосуде становится больше, пара — меньше, но давление стоит на месте.
Шаг 3 — рисуем оба графика. Проводим оси: по горизонтали V, по вертикали p. Отмечаем общую начальную точку (V_0;\,p_0) и вертикальную линию V=\dfrac{V_0}{2}. От начальной точки влево ведём две линии: для пара — строго горизонтальный отрезок на уровне p_0, который заканчивается в точке \left(\dfrac{V_0}{2};\,p_0\right); для воздуха — дугу гиперболы, поднимающуюся до точки \left(\dfrac{V_0}{2};\,2p_0\right). Линия воздуха идёт выше линии пара везде, кроме общего начала.
И всё сходится по смыслу: у воздуха молекулам деваться некуда, их число фиксировано, поэтому теснота сразу превращается в рост давления; у пара есть «аварийный выход» — конденсация, и он держит давление постоянным до тех пор, пока вода в сосуде вообще есть.
Для сухого воздуха график в осях p–V — участок гиперболы (изотермы): при уменьшении объёма от V_0 до \dfrac{V_0}{2} давление растёт от p_0 до 2p_0, потому что воздух ведёт себя как идеальный газ и подчиняется закону Бойля—Мариотта pV=\text{const}.
Для насыщенного пара над водой график — горизонтальный отрезок на уровне p=p_0 от V_0 до \dfrac{V_0}{2}: давление остаётся неизменным. Причина в том, что давление насыщенного пара зависит только от температуры и не зависит от объёма: при сжатии пар остаётся насыщенным, а «лишняя» его часть конденсируется в воду, так что концентрация молекул пара, а с ней и давление, не меняются.