ID: 00017510
В цилиндре под поршнем при комнатной температуре $t_0$ долгое время находятся только вода и её пар. Масса жидкости в два раза больше массы пара. Первоначальное состояние системы показано точкой на $pV$-диаграмме. Медленно перемещая поршень, объём $V$ под поршнем изотермически увеличивают от $V_0$ до $6V_0$.
Постройте график зависимости давления $p$ в цилиндре от объёма $V$ на отрезке от $V_0$ до $6V_0$. Укажите, какими закономерностями вы при этом воспользовались.
Источник: ФИПИ
В цилиндре долго стояли вода и пар — значит, система пришла в равновесие, и пар над водой насыщенный. Пока в цилиндре есть хоть капля воды, пар остаётся насыщенным: испаряется ровно столько, чтобы держать насыщение. А как только вся вода испарится — пар станет обычным газом и заживёт по закону Бойля. Вся хитрость задачи — найти объём, при котором последняя капля воды испарится.
На диаграмме отмечена стартовая точка: объём $V_0$, давление $p_0$. Это давление насыщенного пара при нашей температуре. Температура всё время одна (изотерма). Нам дали важную подсказку про массы: жидкости вдвое больше, чем пара.
Запишем массы. Пусть масса пара в начале $m$. Тогда масса воды $2m$, а всего вещества $m+2m=3m$ — то есть в три раза больше, чем было пара. У насыщенного пара при постоянной температуре плотность постоянна. Значит, объём, который займёт насыщенный пар, прямо пропорционален его массе. Пар массой $m$ занимал $V_0$. Когда испарится вся вода, пара станет $3m$ — и насыщенный пар такой массы займёт ровно $3V_0$. Вот граница: при $V=3V_0$ испаряется последняя капля.
Пока вода есть, пар насыщенный. Его давление зависит только от температуры, а она постоянна. Поэтому, как бы мы ни тянули поршень, давление держится на одном уровне $p_0$. Вода просто испаряется вслед за ростом объёма. На графике — горизонтальная прямая на высоте $p_0$ от $V_0$ до $3V_0$.
Воды больше нет, испаряться нечему. Теперь пар — обычный идеальный газ при постоянной температуре, и работает закон Бойля–Мариотта $pV=\mathrm{const}$. В точке $3V_0$ давление ещё $p_0$. Увеличиваем объём вдвое (до $6V_0$) — давление вдвое падает:
$$p_0\cdot 3V_0 = p_{кон}\cdot 6V_0 \;\Rightarrow\; p_{кон}=\frac{p_0}{2}.$$
На графике — ветка гиперболы, спускающаяся из $(3V_0;\,p_0)$ в $(6V_0;\,p_0/2)$.
От $V_0$ до $3V_0$ — горизонталь на уровне $p_0$ (насыщенный пар, давление не зависит от объёма); от $3V_0$ до $6V_0$ — гипербола вниз до $p_0/2$ по закону $pV=\mathrm{const}$.
График состоит из двух кусков. От $V_0$ до $3V_0$ — горизонтальный отрезок на уровне $p_0$ (давление насыщенного пара): вода испаряется, пар остаётся насыщенным, давление при постоянной температуре не меняется. От $3V_0$ до $6V_0$ — гипербола (изотерма ненасыщенного пара): вся вода испарилась, и давление падает от $p_0$ до $p_0/2$ по закону $pV=\mathrm{const}$.