ID: 00017510
В цилиндре под поршнем при комнатной температуре t_0 долгое время находятся только вода и её пар. Масса жидкости в два раза больше массы пара. Первоначальное состояние системы показано точкой на pV-диаграмме. Медленно перемещая поршень, объём V под поршнем изотермически увеличивают от V_0 до 6V_0.
Постройте график зависимости давления p в цилиндре от объёма V на отрезке от V_0 до 6V_0. Укажите, какими закономерностями вы при этом воспользовались.
Источник: ФИПИ
В цилиндре долго стояли вода и пар — значит, система пришла в равновесие, и пар над водой насыщенный. Пока в цилиндре есть хоть капля воды, пар остаётся насыщенным: испаряется ровно столько, чтобы держать насыщение. А как только вся вода испарится — пар станет обычным газом и заживёт по закону Бойля. Вся хитрость задачи — найти объём, при котором последняя капля воды испарится.
На диаграмме отмечена стартовая точка: объём V_0, давление p_0. Это давление насыщенного пара при нашей температуре. Температура всё время одна (изотерма). Нам дали важную подсказку про массы: жидкости вдвое больше, чем пара.
Запишем массы. Пусть масса пара в начале m. Тогда масса воды 2m, а всего вещества m+2m=3m — то есть в три раза больше, чем было пара. У насыщенного пара при постоянной температуре плотность постоянна. Значит, объём, который займёт насыщенный пар, прямо пропорционален его массе. Пар массой m занимал V_0. Когда испарится вся вода, пара станет 3m — и насыщенный пар такой массы займёт ровно 3V_0. Вот граница: при V=3V_0 испаряется последняя капля.
Пока вода есть, пар насыщенный. Его давление зависит только от температуры, а она постоянна. Поэтому, как бы мы ни тянули поршень, давление держится на одном уровне p_0. Вода просто испаряется вслед за ростом объёма. На графике — горизонтальная прямая на высоте p_0 от V_0 до 3V_0.
Воды больше нет, испаряться нечему. Теперь пар — обычный идеальный газ при постоянной температуре, и работает закон Бойля–Мариотта pV=\mathrm{const}. В точке 3V_0 давление ещё p_0. Увеличиваем объём вдвое (до 6V_0) — давление вдвое падает:
p_0\cdot 3V_0 = p_{кон}\cdot 6V_0 \;\Rightarrow\; p_{кон}=\frac{p_0}{2}.
На графике — ветка гиперболы, спускающаяся из (3V_0;\,p_0) в (6V_0;\,p_0/2).
От V_0 до 3V_0 — горизонталь на уровне p_0 (насыщенный пар, давление не зависит от объёма); от 3V_0 до 6V_0 — гипербола вниз до p_0/2 по закону pV=\mathrm{const}.
График состоит из двух кусков. От V_0 до 3V_0 — горизонтальный отрезок на уровне p_0 (давление насыщенного пара): вода испаряется, пар остаётся насыщенным, давление при постоянной температуре не меняется. От 3V_0 до 6V_0 — гипербола (изотерма ненасыщенного пара): вся вода испарилась, и давление падает от p_0 до p_0/2 по закону pV=\mathrm{const}.