ID: 00017509
В стеклянном цилиндре под поршнем при комнатной температуре $t_0$ находится только водяной пар. Первоначальное состояние системы показано точкой на $pV$-диаграмме. Медленно перемещая поршень, объём $V$ под поршнем изотермически уменьшают от $4V_0$ до $V_0$.
Когда объём $V$ достигает значения $2V_0$, на внутренней стороне стенок цилиндра выпадает роса. Постройте график зависимости давления $p$ в цилиндре от объёма $V$ на отрезке от $V_0$ до $4V_0$.
Укажите, какими закономерностями Вы при этом воспользовались.
Источник: ФИПИ
Давай разберёмся, что вообще происходит в цилиндре. Сначала там только пар, и его мало — он «разреженный», ненасыщенный. Пока пар ненасыщенный, он ведёт себя как обычный идеальный газ. А вот в тот момент, когда выпала роса (на стенках появились капельки), — это сигнал: пар стал насыщенным. Дальше он живёт по совсем другим правилам.
На диаграмме отмечена начальная точка: объём $4V_0$, давление $p_0$. Температура всё время одна и та же (процесс изотермический), а роса появляется ровно при $2V_0$. Значит, у нас есть две границы: $4V_0$ (старт) и $2V_0$ (момент насыщения). Они делят весь путь на два участка с разной «физикой».
Тут пар — обычный идеальный газ при постоянной температуре. Работает закон Бойля–Мариотта: $pV=\mathrm{const}$. Почему именно он? Потому что температура и количество вещества не меняются, а при $T=\mathrm{const}$ произведение давления на объём остаётся постоянным. Сжимаем вдвое (с $4V_0$ до $2V_0$) — давление ровно вдвое растёт:
$$p_0\cdot 4V_0 = p_{нас}\cdot 2V_0 \;\Rightarrow\; p_{нас}=2p_0.$$
На графике это ветка гиперболы, которая поднимается из точки $(4V_0;\,p_0)$ в точку $(2V_0;\,2p_0)$.
Появилась роса — значит, пар достиг насыщения. А у насыщенного пара есть фирменное свойство: его давление зависит только от температуры и совсем не зависит от объёма. Температура у нас постоянная — стало быть, и давление насыщенного пара постоянно. Сжимаем дальше — лишний пар просто превращается в воду (конденсируется), а давление держится на уровне $p_{нас}=2p_0$.
На графике это прямая горизонтальная линия на высоте $2p_0$ от $V=2V_0$ до $V=V_0$.
От $4V_0$ до $2V_0$ — гипербола (изотерма) от $p_0$ до $2p_0$ по закону $pV=\mathrm{const}$; от $2V_0$ до $V_0$ — горизонтальный отрезок на уровне $p=2p_0$ (давление насыщенного пара не зависит от объёма).
График состоит из двух кусков. От $4V_0$ до $2V_0$ — гипербола (изотерма ненасыщенного пара): давление растёт от $p_0$ до $2p_0$ по закону $pV=\mathrm{const}$. От $2V_0$ до $V_0$ — горизонтальный отрезок на уровне $p=2p_0$: пар стал насыщенным, его давление при постоянной температуре больше не меняется, лишний пар уходит в росу.