Оптика — Задание 21 ЕГЭ по физике №00016540

Указка неподвижна, а шар едет вбок, поперёк луча. Луч входит в шар всё дальше от центра, преломляется всё сильнее, и путь света внутри шара меняется. Найдём, как длина этого пути $L$ зависит от времени.

Шаг 1 — где проходит луч. Для света важно только взаимное положение луча и шара: неважно, что движется — шар или указка. За время $t$ шар сместится на $h=Vt$, и луч окажется на таком же расстоянии от центра $O$. Луч задевает шар, пока $h\le R$:

$$t\le\dfrac{R}{V}=\dfrac{4\ \text{см}}{2\ \text{см/с}}=2\ \text{с}$$

После этого луч проходит мимо шара, и $L=0$.

Шаг 2 — угол падения. Перпендикуляр к поверхности шара в точке входа луча — это радиус, проведённый в эту точку. Луч параллелен прямой, проходящей через центр, и отстоит от неё на $h$. Из прямоугольного треугольника с гипотенузой $R$ и катетом $h$ находим синус угла падения $\alpha$:

$$\sin\alpha=\dfrac{h}{R}=\dfrac{Vt}{R}$$

Шаг 3 — преломление. По закону преломления света $\sin\alpha=n\sin\beta$, где $\beta$ — угол преломления:

$$\sin\beta=\dfrac{\sin\alpha}{n}=\dfrac{Vt}{nR}$$

Внутри шара луч идёт уже не вдоль прежней прямой, а наклоняется к центру.

Шаг 4 — длина пути. Внутри шара луч идёт по хорде. Соединим концы хорды с центром $O$: получится равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $R$, и хорда подходит к каждому из этих радиусов под углом $\beta$. Перпендикуляр из $O$ делит хорду пополам, каждая половина равна $R\cos\beta$:

$$L=2R\cos\beta=2R\sqrt{1-\dfrac{V^2t^2}{n^2R^2}}=2\sqrt{R^2-\dfrac{V^2t^2}{n^2}}$$

Подставим $R=4$ см, $V=2$ см/с, $n^2=2$:

$$L=2\sqrt{16-\dfrac{4t^2}{2}}=2\sqrt{16-2t^2}\ \text{см}\quad(t\ \text{в секундах})$$

Шаг 5 — выйдет ли луч наружу. Ко второй поверхности луч подходит изнутри под тем же углом $\beta$ (треугольник равнобедренный). Полное внутреннее отражение наступило бы, если бы $\sin\beta\ge\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{\sqrt2}$, то есть при $\beta\ge45^\circ$. Но $\sin\beta=\dfrac{\sin\alpha}{n}\lt\dfrac{1}{n}$ при любом $\alpha\lt90^\circ$, поэтому луч проходит хорду один раз и выходит из шара; предельного угла он достигает только в момент касания.

Шаг 6 — особые точки. При $t=0$ луч идёт по диаметру: $L=2R=8$ см — наибольшее значение. В момент $t=2$ с угол падения становится прямым, $\sin\beta=\dfrac{1}{\sqrt2}$, $\beta=45^\circ$, и $L=2\cdot4\cdot\cos45^\circ=4\sqrt2\approx5{,}7$ см. Сразу после этого луч перестаёт попадать в шар, и длина скачком падает до нуля — это разрыв графика.

График. От $t=0$ до $t=2$ с длина $L$ плавно убывает от $8$ до $5{,}7$ см по дуге: в начале почти горизонтально (при малом смещении путь почти равен диаметру), дальше всё круче. Например, при $t=1$ с $L=2\sqrt{14}\approx7{,}5$ см — это выше середины между концами (около $6{,}8$ см), значит, график выпуклый, а не прямой. При $t\gt2$ с $L=0$.

Проверим себя случаем $n=1$ — «шар из воздуха»: луч не преломляется, и формула даёт $L=2\sqrt{R^2-h^2}$, обычную хорду прямой, которая плавно уменьшается до нуля. Разрыв у прозрачного шара появляется именно из-за преломления: даже скользящий луч внутри шара отклоняется к центру и проходит конечный путь $R\sqrt2$.