Оптика — Задание 21 ЕГЭ по физике №00017604

Идея

Наблюдатель на корабле видит вокруг себя круг моря радиусом, равным дальности горизонта $d$. Чем выше глаз, тем дальше горизонт и тем больше этот круг. Нам нужно сравнить площади обозреваемых кругов с мостика и с мачты.

Дальность горизонта

Земля круглая, луч зрения касается её поверхности. Из прямоугольного треугольника с гипотенузой $R+h$ (радиус в точке касания перпендикулярен лучу) по теореме Пифагора:

$d = \sqrt{(R+h)^2 - R^2} = \sqrt{2Rh + h^2}.$

Так как радиус Земли гораздо больше высоты ($R \gg h$), пренебрегаем $h^2$:

$d \approx \sqrt{2Rh}, \qquad d \propto \sqrt{h}.$

Площадь обозреваемого моря

Обозреваемая поверхность — это круг радиусом $d$ (так как $R \gg h$, кривизной этого круга можно пренебречь и считать его плоским):

$S = \pi d^2 \approx \pi \cdot 2Rh = 2\pi R h.$

Главный вывод: площадь пропорциональна самой высоте (а не корню из неё), $S \propto h$. Это логично: площадь — это квадрат расстояния, а расстояние — корень из высоты, корень в квадрате даёт первую степень.

Сравнение двух высот

Высота выросла в 4 раза: $h_2 = 4h_1$. Тогда:

$\dfrac{S_2}{S_1} = \dfrac{h_2}{h_1} = 4.$