ID: 00017604
Капитан парусного корабля в открытом море не обнаружил в пределах видимости (до горизонта) ни одного клочка земли. Тогда он послал юнгу оглядеться с самого верха грот-мачты, который находился над уровнем моря в 4 раза выше, чем капитанский мостик. Во сколько раз при этом увеличилась площадь поверхности моря, которую можно было обозревать? Считайте, что радиус Земли гораздо больше высоты мачты.
Источник: ФИПИ
Наблюдатель на корабле видит вокруг себя круг моря радиусом, равным дальности горизонта d. Чем выше глаз, тем дальше горизонт и тем больше этот круг. Нам нужно сравнить площади обозреваемых кругов с мостика и с мачты.
Земля круглая, луч зрения касается её поверхности. Из прямоугольного треугольника с гипотенузой R+h (радиус в точке касания перпендикулярен лучу) по теореме Пифагора:
d = \sqrt{(R+h)^2 - R^2} = \sqrt{2Rh + h^2}.
Так как радиус Земли гораздо больше высоты (R \gg h), пренебрегаем h^2:
d \approx \sqrt{2Rh}, \qquad d \propto \sqrt{h}.
Обозреваемая поверхность — это круг радиусом d (так как R \gg h, кривизной этого круга можно пренебречь и считать его плоским):
S = \pi d^2 \approx \pi \cdot 2Rh = 2\pi R h.
Главный вывод: площадь пропорциональна самой высоте (а не корню из неё), S \propto h. Это логично: площадь — это квадрат расстояния, а расстояние — корень из высоты, корень в квадрате даёт первую степень.
Высота выросла в 4 раза: h_2 = 4h_1. Тогда:
\dfrac{S_2}{S_1} = \dfrac{h_2}{h_1} = 4.
Ответ: обозреваемая площадь моря увеличилась в 4 раза.
В 4 раза.