ID: 00017604
Капитан парусного корабля в открытом море не обнаружил в пределах видимости (до горизонта) ни одного клочка земли. Тогда он послал юнгу оглядеться с самого верха грот-мачты, который находился над уровнем моря в 4 раза выше, чем капитанский мостик. Во сколько раз при этом увеличилась площадь поверхности моря, которую можно было обозревать? Считайте, что радиус Земли гораздо больше высоты мачты.
Источник: ФИПИ
Наблюдатель на корабле видит вокруг себя круг моря радиусом, равным дальности горизонта $d$. Чем выше глаз, тем дальше горизонт и тем больше этот круг. Нам нужно сравнить площади обозреваемых кругов с мостика и с мачты.
Земля круглая, луч зрения касается её поверхности. Из прямоугольного треугольника с гипотенузой $R+h$ (радиус в точке касания перпендикулярен лучу) по теореме Пифагора:
$d = \sqrt{(R+h)^2 - R^2} = \sqrt{2Rh + h^2}.$
Так как радиус Земли гораздо больше высоты ($R \gg h$), пренебрегаем $h^2$:
$d \approx \sqrt{2Rh}, \qquad d \propto \sqrt{h}.$
Обозреваемая поверхность — это круг радиусом $d$ (так как $R \gg h$, кривизной этого круга можно пренебречь и считать его плоским):
$S = \pi d^2 \approx \pi \cdot 2Rh = 2\pi R h.$
Главный вывод: площадь пропорциональна самой высоте (а не корню из неё), $S \propto h$. Это логично: площадь — это квадрат расстояния, а расстояние — корень из высоты, корень в квадрате даёт первую степень.
Высота выросла в 4 раза: $h_2 = 4h_1$. Тогда:
$\dfrac{S_2}{S_1} = \dfrac{h_2}{h_1} = 4.$
В 4 раза.