Global EE

Оптика — Задание 21 ЕГЭ по физике №00016539

Задание №21. Качественная Задача

Оптика

№2. Задание 21

ID: 00016539

На горизонтальном столе закреплён однородный прозрачный шар радиусом $R = 5$ см, изготовленный из вещества с показателем преломления $n = \sqrt{2}$. На шар направлен тонкий луч света от лазерной указки, идущий параллельно столу. В исходном положении луч проходит через центр O шара. Указку начинают поступательно перемещать вдоль стола с постоянной скоростью $V = 5$ см/с так, что она движется в направлении, перпендикулярном лучу (на рисунке показан вид сверху, пунктирной линией обозначена траектория лазерного луча в исходном положении шара).

Опираясь на законы физики, изобразите график зависимости длины $L$ участка лазерного луча, находящегося внутри шара, от времени $t$, прошедшего с момента начала движения указки. Объясните построение графика, указав явления и закономерности, которые Вы при этом использовали. На осях координат обозначьте физические величины в «особых» точках графика (максимумы, минимумы, разрывы, точки излома графика), если они есть.

Рисунок к заданию 21 ЕГЭ по физике — Оптика

Источник: ФИПИ

Решение

Лазерный луч светит на прозрачный шар, а указку равномерно отодвигают вбок. Луч входит в шар всё дальше от центра, сильнее преломляется, и путь, который он проходит внутри шара, меняется. Нужно построить график длины этого пути от времени.

Шаг 1 — смещение луча. За время $t$ указка сместится на расстояние $h=Vt$, и на столько же луч отойдёт от прямой, проходящей через центр шара. Луч попадает в шар, пока $h\le R$, то есть пока $$t\le\dfrac{R}{V}=\dfrac{5}{5}=1\ \text{с}.$$ Позже луч проходит мимо шара, и $L=0$.

Шаг 2 — угол падения. Перпендикуляр к поверхности шара — это радиус, проведённый в точку входа луча. Луч идёт параллельно линии, проходящей через центр, на расстоянии $h$ от неё, поэтому для угла падения $\alpha$ получаем $$\sin\alpha=\dfrac{h}{R}=\dfrac{Vt}{R}.$$

Шаг 3 — преломление. По закону преломления света $\sin\alpha=n\sin\beta$, где $\beta$ — угол преломления: $$\sin\beta=\dfrac{\sin\alpha}{n}=\dfrac{Vt}{nR}.$$

Шаг 4 — длина пути внутри шара. Луч внутри шара идёт по хорде. Соединим её концы с центром: получится равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $R$ и углами при основании $\beta$. Его основание — искомая хорда: $$L=2R\cos\beta=2R\sqrt{1-\sin^2\beta}=2R\sqrt{1-\dfrac{V^2t^2}{n^2R^2}}.$$ На вторую поверхность луч падает изнутри под тем же углом $\beta$ и выходит наружу, так что хорду он проходит один раз.

Шаг 5 — числа. Подставим $R=5$ см, $V=5$ см/с, $n=\sqrt2$: $$L(t)=10\sqrt{1-\dfrac{t^2}{2}}\ \text{см}$$ (время в секундах). При $t=0$ луч идёт через центр: $L=2R=10$ см — это наибольшее значение. При $t=1$ с луч касается шара: $\sin\beta=\dfrac{1}{\sqrt2}$, $\beta=45^\circ$ и $L=10\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}\approx7{,}1$ см.

График. От $t=0$ до $t=1$ с длина плавно убывает от $10$ до $7{,}1$ см: сначала медленно (кривая выходит из начальной точки горизонтально), потом всё быстрее — линия выпуклая вверх. В момент $t=1$ с луч перестаёт попадать в шар, и график обрывается: при $t\gt 1$ с $L=0$. Особые точки: максимум $10$ см при $t=0$ и разрыв при $t=1$ с, где длина скачком падает с $7{,}1$ см до нуля.

Ответ

При $0 \leq t < t^* = \frac{R}{V} = 1$ с длина $L(t) = 2R\cos\beta(t)$ монотонно убывает от $L(0) = 2R = 10$ см до $L(t^*) = R\sqrt{2} \approx 7{,}1$ см; при $t \geq t^*$ луч не попадает в шар и $L = 0$ (скачок).

Другие задания по теме «Оптика» (8)