ID: 00015287
В закрытом сосуде объёмом 8,3 литра находится одноатомный идеальный газ при температуре 127 °C. Начиная с момента времени $t=0$ давление $p$ газа изменяется так, как показано на приведённом графике. На основании анализа графика выберите все верные утверждения.
1) Количество теплоты, переданное газу за первые 10 минут, равно 74,7 Дж.
2) Работа газа за первые 10 минут больше, чем работа газа за следующие 10 минут.
3) Изменение внутренней энергии газа за первые 20 минут равно 149,4 Дж.
4) В момент времени $t=25$ мин температура газа станет равной 407,5 °C.
5) По заданным в задаче параметрам определить число молей газа в сосуде не представляется возможным.
Запишите в ответ выбранные цифры.
Источник: ФИПИ
Сосуд закрыт и жёсткий, поэтому объём газа всё время один и тот же. Это сразу сильно упрощает задачу.
Что видно на рисунке. По горизонтали отложено время $t$ в минутах (отметки 0, 5, 10, 15, 20, 25), по вертикали — давление $p$ в килопаскалях (отметки 795, 800, 805, 810, 815).
График — прямая линия, идущая вверх. Снимаем точки: при $t=0$ давление 800 кПа, при $t=5$ мин — 803 кПа, при $t=10$ мин — 806 кПа, при $t=15$ мин — 809 кПа, при $t=20$ мин — 812 кПа, при $t=25$ мин — 815 кПа. То есть каждые 5 минут давление растёт на 3 кПа.
Дано: $V=8{,}3$ л $=8{,}3\cdot10^{-3}\ \text{м}^3$, начальная температура $T_0=127\ ^\circ\text{C}=400\ \text{К}$, начальное давление $p_0=800$ кПа $=8\cdot10^{5}$ Па, газ одноатомный.
Заготовки для решения.
Объём постоянен, значит газ никуда не расширяется и работы не совершает:
$$A=0$$
Тогда первый закон термодинамики упрощается: вся подведённая теплота идёт только на внутреннюю энергию.
$$Q=\Delta U$$
Для одноатомного газа
$$\Delta U=\frac{3}{2}\nu R\,\Delta T$$
Температуру связываем с давлением законом Шарля (при постоянном объёме давление пропорционально абсолютной температуре):
$$\frac{p}{T}=\text{const}\ \Rightarrow\ T=T_0\cdot\frac{p}{p_0}$$
Удобно сразу посчитать произведение $\nu R$ — оно нам понадобится вместо отдельного поиска числа молей:
$$\nu R=\frac{p_0V}{T_0}=\frac{8\cdot10^{5}\cdot8{,}3\cdot10^{-3}}{400}=\frac{6640}{400}=16{,}6\ \frac{\text{Дж}}{\text{К}}$$
Утверждение 1. За первые 10 минут давление выросло с 800 до 806 кПа. Найдём прирост температуры:
$$\Delta T=T_0\cdot\frac{\Delta p}{p_0}=400\cdot\frac{6}{800}=3\ \text{К}$$
Теперь теплота:
$$Q=\frac{3}{2}\nu R\,\Delta T=1{,}5\cdot16{,}6\cdot3=74{,}7\ \text{Дж}$$
Ровно как в утверждении. Верно.
Утверждение 2. Объём газа постоянен, поэтому работа газа равна нулю и в первые 10 минут, и в следующие 10 минут. Ноль не больше нуля. Неверно.
Утверждение 3. За 20 минут давление выросло с 800 до 812 кПа, то есть на 12 кПа. Прирост температуры:
$$\Delta T=400\cdot\frac{12}{800}=6\ \text{К}$$
Изменение внутренней энергии:
$$\Delta U=1{,}5\cdot16{,}6\cdot6=149{,}4\ \text{Дж}$$
Совпало с утверждением. Верно.
Утверждение 4. При $t=25$ мин давление 815 кПа. Считаем температуру:
$$T=400\cdot\frac{815}{800}=407{,}5\ \text{К}$$
Но 407,5 — это кельвины, а в утверждении написаны градусы Цельсия. Переведём:
$$t=407{,}5-273=134{,}5\ ^\circ\text{C}$$
Это совсем не 407,5 °C. Ловушка на путанице шкал. Неверно.
Утверждение 5. Число молей прекрасно считается из уравнения состояния по начальной точке:
$$\nu=\frac{p_0V}{RT_0}=\frac{8\cdot10^{5}\cdot8{,}3\cdot10^{-3}}{8{,}31\cdot400}\approx2\ \text{моль}$$
Значит заявление «определить невозможно» ложно. Неверно.
Итого верны утверждения 1 и 3.