ID: 00015286
Один моль идеального одноатомного газа переходит из состояния 1 в состояние 2 так, как показано на $pV$-диаграмме. На основании анализа этого графика выберите все верные утверждения.
1) В процессе 1−2 температура газа всё время увеличивается.
2) В состоянии, соответствующем точке 1, температура газа равна 400 К.
3) В процессе 1−2 внутренняя энергия газа всё время уменьшается.
4) В процессе 1−2 газ совершает работу 6232,5 Дж.
5) В состоянии, соответствующем точке 2, плотность газа достигает максимального значения в течение процесса 1−2.
Запишите в ответ выбранные цифры.
Источник: ФИПИ
Разберём диаграмму и проверим утверждения по очереди — здесь почти всё считается по двум формулам.
Что видно на рисунке. По горизонтали отложен объём $V$ в литрах, отмечены значения 8,31 и 33,24. По вертикали — давление $p$ в атмосферах, отмечены 1, 2, 3, 4.
Процесс 1−2 — прямой отрезок, идущий вниз-вправо. Точка 1 имеет координаты $(8{,}31\ \text{л};\ 4\ \text{атм})$, точка 2 — $(33{,}24\ \text{л};\ 1\ \text{атм})$. То есть газ расширяется, а давление при этом падает.
Переведём в СИ: $1$ атм $=10^{5}$ Па, $1$ л $=10^{-3}\ \text{м}^3$. Тогда
$$p_1=4\cdot10^{5}\ \text{Па},\quad V_1=8{,}31\cdot10^{-3}\ \text{м}^3,\quad p_2=1\cdot10^{5}\ \text{Па},\quad V_2=33{,}24\cdot10^{-3}\ \text{м}^3$$
Считаем температуры в точках. Из уравнения состояния для одного моля ($\nu=1$):
$$T=\frac{pV}{\nu R}$$
В точке 1:
$$T_1=\frac{4\cdot10^{5}\cdot8{,}31\cdot10^{-3}}{8{,}31}=400\ \text{К}$$
В точке 2:
$$T_2=\frac{1\cdot10^{5}\cdot33{,}24\cdot10^{-3}}{8{,}31}=\frac{3324}{8{,}31}=400\ \text{К}$$
Любопытный результат: температура в начале и в конце одинаковая — 400 К.
Но это не значит, что она всё время была постоянной! Изотерма в осях $p\text{–}V$ — это гипербола, а у нас прямой отрезок. Прямая, соединяющая две точки гиперболы, проходит выше неё, значит в середине процесса произведение $pV$, а с ним и температура, больше 400 К.
Проверим на середине: возьмём точку с $p=2{,}5$ атм и $V\approx20{,}8$ л, тогда
$$T=\frac{2{,}5\cdot10^{5}\cdot20{,}8\cdot10^{-3}}{8{,}31}\approx626\ \text{К}$$
Значит температура сначала растёт, потом падает.
Утверждение 1. «Температура всё время увеличивается» — нет, к концу она возвращается к 400 К, то есть на второй половине процесса падает. Неверно.
Утверждение 2. Мы посчитали $T_1=400$ К. Верно.
Утверждение 3. Внутренняя энергия $U=\frac{3}{2}\nu RT$ ведёт себя как температура: сначала растёт, потом убывает. «Всё время уменьшается» — не так. Неверно.
Утверждение 4. Работа газа на $pV$-диаграмме — это площадь фигуры под графиком. Под нашим отрезком получается трапеция с основаниями $p_1$ и $p_2$ и «высотой» $V_2-V_1$:
$$A=\frac{p_1+p_2}{2}\cdot(V_2-V_1)$$
Считаем разность объёмов:
$$V_2-V_1=(33{,}24-8{,}31)\cdot10^{-3}=24{,}93\cdot10^{-3}\ \text{м}^3$$
И среднее давление:
$$\frac{4\cdot10^{5}+1\cdot10^{5}}{2}=2{,}5\cdot10^{5}\ \text{Па}$$
Тогда
$$A=2{,}5\cdot10^{5}\cdot24{,}93\cdot10^{-3}=6232{,}5\ \text{Дж}$$
Совпало с утверждением. Верно.
Утверждение 5. Масса газа постоянна, поэтому плотность $\rho=\dfrac{m}{V}$ тем больше, чем меньше объём. В точке 2 объём самый большой за весь процесс, значит плотность там как раз самая маленькая, а максимальна она в точке 1. Неверно.
Итого верны утверждения 2 и 4.