Термодинамика — Задание 9 ЕГЭ по физике №00015286

Разберём диаграмму и проверим утверждения по очереди — здесь почти всё считается по двум формулам.

Что видно на рисунке. По горизонтали отложен объём $V$ в литрах, отмечены значения 8,31 и 33,24. По вертикали — давление $p$ в атмосферах, отмечены 1, 2, 3, 4.

Процесс 1−2 — прямой отрезок, идущий вниз-вправо. Точка 1 имеет координаты $(8{,}31\ \text{л};\ 4\ \text{атм})$, точка 2 — $(33{,}24\ \text{л};\ 1\ \text{атм})$. То есть газ расширяется, а давление при этом падает.

Переведём в СИ: $1$ атм $=10^{5}$ Па, $1$ л $=10^{-3}\ \text{м}^3$. Тогда

$$p_1=4\cdot10^{5}\ \text{Па},\quad V_1=8{,}31\cdot10^{-3}\ \text{м}^3,\quad p_2=1\cdot10^{5}\ \text{Па},\quad V_2=33{,}24\cdot10^{-3}\ \text{м}^3$$

Считаем температуры в точках. Из уравнения состояния для одного моля ($\nu=1$):

$$T=\frac{pV}{\nu R}$$

В точке 1:

$$T_1=\frac{4\cdot10^{5}\cdot8{,}31\cdot10^{-3}}{8{,}31}=400\ \text{К}$$

В точке 2:

$$T_2=\frac{1\cdot10^{5}\cdot33{,}24\cdot10^{-3}}{8{,}31}=\frac{3324}{8{,}31}=400\ \text{К}$$

Любопытный результат: температура в начале и в конце одинаковая — 400 К.

Но это не значит, что она всё время была постоянной! Изотерма в осях $p\text{–}V$ — это гипербола, а у нас прямой отрезок. Прямая, соединяющая две точки гиперболы, проходит выше неё, значит в середине процесса произведение $pV$, а с ним и температура, больше 400 К.

Проверим на середине: возьмём точку с $p=2{,}5$ атм и $V\approx20{,}8$ л, тогда

$$T=\frac{2{,}5\cdot10^{5}\cdot20{,}8\cdot10^{-3}}{8{,}31}\approx626\ \text{К}$$

Значит температура сначала растёт, потом падает.

Утверждение 1. «Температура всё время увеличивается» — нет, к концу она возвращается к 400 К, то есть на второй половине процесса падает. Неверно.

Утверждение 2. Мы посчитали $T_1=400$ К. Верно.

Утверждение 3. Внутренняя энергия $U=\frac{3}{2}\nu RT$ ведёт себя как температура: сначала растёт, потом убывает. «Всё время уменьшается» — не так. Неверно.

Утверждение 4. Работа газа на $pV$-диаграмме — это площадь фигуры под графиком. Под нашим отрезком получается трапеция с основаниями $p_1$ и $p_2$ и «высотой» $V_2-V_1$:

$$A=\frac{p_1+p_2}{2}\cdot(V_2-V_1)$$

Считаем разность объёмов:

$$V_2-V_1=(33{,}24-8{,}31)\cdot10^{-3}=24{,}93\cdot10^{-3}\ \text{м}^3$$

И среднее давление:

$$\frac{4\cdot10^{5}+1\cdot10^{5}}{2}=2{,}5\cdot10^{5}\ \text{Па}$$

Тогда

$$A=2{,}5\cdot10^{5}\cdot24{,}93\cdot10^{-3}=6232{,}5\ \text{Дж}$$

Совпало с утверждением. Верно.

Утверждение 5. Масса газа постоянна, поэтому плотность $\rho=\dfrac{m}{V}$ тем больше, чем меньше объём. В точке 2 объём самый большой за весь процесс, значит плотность там как раз самая маленькая, а максимальна она в точке 1. Неверно.

Итого верны утверждения 2 и 4.