ID: 00015283
В герметичном сосуде объёмом $V_0=1$ литр под поршнем находится 1 моль идеального одноатомного газа при атмосферном давлении $p_0$. На рисунке изображена $pV$-диаграмма, показывающая последовательные переходы этого газа из состояния 1 в состояние 5. Выберите все верные утверждения на основании анализа представленного графика.
1) Работа газа в процессе 4−5 больше работы газа в процессе 2−3 в 1,5 раза.
2) В процессе перехода 4−5 газ совершил бо́льшую работу, чем в процессе перехода 2−3−4.
3) Максимальное изменение $\Delta T$ температуры газа произошло в процессе 1−2.
4) Отношение разности температур газа в состояниях 5 и 3 к температуре газа в состоянии 1 равно 23.
5) Отношение температуры газа в состоянии 3 к температуре газа в состоянии 4 равно 1,25.
Запишите в ответ выбранные цифры.
Источник: ФИПИ
Все пять утверждений — это либо сравнение работ (то есть площадей под графиком), либо сравнение температур (то есть произведений $p\cdot V$). Значит первым делом надо аккуратно снять координаты точек.
Что видно на рисунке. По горизонтали отложен объём $V$, по вертикали — давление $p$, есть клетчатая сетка. На осях подписаны $V_0$ (первая вертикальная линия) и $p_0$ (первая горизонтальная линия), то есть клетка по объёму равна $V_0$, а клетка по давлению равна $p_0$.
Считаем по клеткам координаты точек:
точка 1 — $(V_0;\ p_0)$; точка 2 — $(2V_0;\ 3p_0)$; точка 3 — $(4V_0;\ 3p_0)$; точка 4 — $(5V_0;\ 4p_0)$; точка 5 — $(7V_0;\ 5p_0)$.
Форма линии подтверждает: 1−2 — крутой подъём, 2−3 — горизонтальная площадка (давление постоянно, $3p_0$), 3−4 и 4−5 — снова подъёмы.
Два инструмента.
Работа газа — площадь фигуры под участком графика. Под горизонтальным участком это прямоугольник $A=p\,\Delta V$, под наклонным — трапеция:
$$A=\frac{p_{\text{нач}}+p_{\text{кон}}}{2}\cdot\Delta V$$
Температура пропорциональна произведению $p\cdot V$, потому что $pV=\nu RT$. Дальше будем измерять температуру в удобных единицах $p_0V_0$.
Выпишем сразу все температуры (перемножаем координаты):
$$T_1\sim1,\quad T_2\sim2\cdot3=6,\quad T_3\sim4\cdot3=12,\quad T_4\sim5\cdot4=20,\quad T_5\sim7\cdot5=35$$
Утверждение 1. Считаем работу на участке 2−3 (давление постоянно, $3p_0$, объём вырос на $2V_0$):
$$A_{2-3}=3p_0\cdot2V_0=6\,p_0V_0$$
Работа на участке 4−5 (трапеция от $4p_0$ до $5p_0$, объём вырос на $2V_0$):
$$A_{4-5}=\frac{4p_0+5p_0}{2}\cdot2V_0=9\,p_0V_0$$
Отношение:
$$\frac{A_{4-5}}{A_{2-3}}=\frac{9}{6}=1{,}5$$
Ровно в 1,5 раза. Верно.
Утверждение 2. Работа на пути 2−3−4 складывается из двух кусков. Первый мы уже знаем: $6\,p_0V_0$. Второй — трапеция на участке 3−4 (от $3p_0$ до $4p_0$, объём вырос на $V_0$):
$$A_{3-4}=\frac{3p_0+4p_0}{2}\cdot V_0=3{,}5\,p_0V_0$$
Итого
$$A_{2-3-4}=6+3{,}5=9{,}5\,p_0V_0$$
А на участке 4−5 работа равна $9\,p_0V_0$, то есть чуть меньше, а не больше. Неверно.
Утверждение 3. Смотрим приросты температуры по участкам, пользуясь выписанными значениями:
$$\Delta T_{1-2}\sim6-1=5,\quad \Delta T_{2-3}\sim12-6=6,\quad \Delta T_{3-4}\sim20-12=8,\quad \Delta T_{4-5}\sim35-20=15$$
Самое большое изменение — на участке 4−5, а не 1−2. Неверно.
Утверждение 4. Считаем требуемое отношение:
$$\frac{T_5-T_3}{T_1}=\frac{35-12}{1}=23$$
Обратите внимание: одинаковые множители $p_0V_0$ и $\nu R$ сокращаются, поэтому ответ получается чистым числом. Верно.
Утверждение 5. Считаем отношение температур в состояниях 3 и 4:
$$\frac{T_3}{T_4}=\frac{12}{20}=0{,}6$$
Это не 1,25. (Даже перевёрнутое отношение $T_4/T_3\approx1{,}67$ на 1,25 не похоже.) Неверно.
Итого верны утверждения 1 и 4.