ID: 00015277
На $pV$-диаграмме показан процесс изменения состояния идеального одноатомного газа. Выберите все верные утверждения и запишите в таблицу цифры, под которыми они указаны.
1) Работа, совершённая газом за цикл $A_{1234}$, положительна.
2) Процесс на участке 2−3 изохорный.
3) На участке 4−1 газ совершил меньшую работу, чем на участке 2−3.
4) Температура газа в точке 3 в четыре раза больше температуры газа в точке 1.
5) Температура газа в точке 4 в два раза больше температуры газа в точке 2.
Запишите в ответ выбранные цифры.
Источник: ФИПИ
На диаграмме нарисован прямоугольный цикл, и по нему нужно проверить пять утверждений. Сначала выпишем координаты всех четырёх точек прямо с рисунка, а потом каждое утверждение проверим отдельно.
Точка 1: \(V_0,\ p_0\). Точка 2: \(2V_0,\ p_0\). Точка 3: \(2V_0,\ 2p_0\). Точка 4: \(V_0,\ 2p_0\). Стрелки на рисунке задают обход: по нижней стороне вправо \(1 \to 2\), по правой стороне вверх \(2 \to 3\), по верхней стороне влево \(3 \to 4\), по левой стороне вниз \(4 \to 1\).
Утверждение 1 — неверно. Работа газа — это площадь под графиком, причём при расширении она положительна, а при сжатии отрицательна. Расширяется газ на участке \(1 \to 2\), и происходит это при низком давлении \(p_0\): \(A_{12} = p_0 \cdot (2V_0 - V_0) = p_0 V_0\). Сжимается газ на участке \(3 \to 4\), и уже при высоком давлении \(2p_0\): \(A_{34} = 2p_0 \cdot (V_0 - 2V_0) = -2p_0V_0\). На вертикальных участках объём не меняется, работа нулевая. Итого за цикл \(A = p_0V_0 - 2p_0V_0 = -p_0V_0\) — работа отрицательна. Тот же вывод даёт быстрый признак: обход цикла идёт против часовой стрелки, а значит работа газа за цикл отрицательна.
Утверждение 2 — верно. Изохорный процесс — это процесс при постоянном объёме, на \(pV\)-диаграмме он выглядит как вертикальный отрезок. Участок \(2 \to 3\) идёт из точки \((2V_0,\ p_0)\) в точку \((2V_0,\ 2p_0)\): объём всё время равен \(2V_0\), меняется только давление. Это изохора.
Утверждение 3 — неверно. Участок \(4 \to 1\) тоже вертикальный: объём держится равным \(V_0\). Раз объём не меняется, газ не совершает работы: \(A_{41} = 0\). Но и на участке \(2 \to 3\) по той же причине \(A_{23} = 0\). Работы одинаковы (обе нулевые), поэтому сказать «на 4−1 работа меньше» нельзя.
Утверждение 4 — верно. Пользуемся уравнением Клапейрона — Менделеева \(pV = \nu RT\): при неизменном количестве газа температура пропорциональна произведению \(pV\). В точке 1: \(p_0 \cdot V_0 = p_0V_0\). В точке 3: \(2p_0 \cdot 2V_0 = 4p_0V_0\). Отношение \(\dfrac{T_3}{T_1} = \dfrac{4p_0V_0}{p_0V_0} = 4\) — температура в точке 3 действительно вчетверо больше.
Утверждение 5 — неверно. Считаем произведения так же. В точке 4: \(2p_0 \cdot V_0 = 2p_0V_0\). В точке 2: \(p_0 \cdot 2V_0 = 2p_0V_0\). Они равны, значит \(\dfrac{T_4}{T_2} = 1\): температуры в точках 2 и 4 одинаковы, а не отличаются вдвое.
Верными оказались утверждения 2 и 4, записываем цифры по возрастанию: 24.