Термодинамика — Задание 9 ЕГЭ по физике №00015267

Газ переводят из состояния 1 в состояние 2 по прямой линии на $pV$-диаграмме. Надо понять, что при этом происходит с температурой, с внутренней энергией и с работой газа.

Что видно на рисунке. По горизонтали — объём в литрах, по вертикали — давление в атмосферах. Точка 1: $V_1 = 1{,}5$ л, $p_1 = 5$ атм. Точка 2: $V_2 = 4{,}5$ л, $p_2 = 1$ атм. Соединены они прямым отрезком, идущим вправо и вниз: газ расширяется, давление падает.

Дано:

$\nu = 0{,}1$ моль (одноатомный идеальный газ)

$p_1 = 5$ атм $= 5\cdot 10^5$ Па, $V_1 = 1{,}5$ л $= 1{,}5\cdot 10^{-3}$ м$^3$

$p_2 = 1$ атм $= 10^5$ Па, $V_2 = 4{,}5$ л $= 4{,}5\cdot 10^{-3}$ м$^3$

Инструмент. Температуру в любой точке диаграммы даёт уравнение Менделеева — Клапейрона:

$$T = \frac{pV}{\nu R}$$

Знаменатель у нас всё время один и тот же:

$$\nu R = 0{,}1 \cdot 8{,}31 = 0{,}831\ \frac{\text{Дж}}{\text{К}}$$

А внутренняя энергия одноатомного газа $U = \tfrac{3}{2}\nu R T$ пропорциональна температуре, поэтому «как ведёт себя $T$» и «как ведёт себя $U$» — это один и тот же вопрос.

Температура в состоянии 1. Считаем произведение $pV$ и делим:

$$p_1V_1 = 5\cdot 10^5 \cdot 1{,}5\cdot 10^{-3} = 750\ \text{Дж}$$ $$T_1 = \frac{750}{0{,}831} \approx 903\ \text{К}$$

Температура в состоянии 2.

$$p_2V_2 = 10^5 \cdot 4{,}5\cdot 10^{-3} = 450\ \text{Дж}$$ $$T_2 = \frac{450}{0{,}831} \approx 541\ \text{К}$$

Утверждение 1. $T_2 \approx 541$ К, а это больше 500 К. Утверждение верное.

Утверждение 2. $T_1 \approx 903$ К, что заметно больше 500 К, а не меньше. Утверждение неверное.

Утверждения 3 и 4. Тут важно не поддаться на соблазн сравнить только концы. Возьмём промежуточную точку на отрезке. Прямая проходит через $(1{,}5;5)$ и $(4{,}5;1)$, значит при $V = 3$ л давление равно $p = 3$ атм (проверьте по рисунку — точка лежит на линии). Считаем температуру там:

$$pV = 3\cdot 10^5 \cdot 3\cdot 10^{-3} = 900\ \text{Дж}, \qquad T = \frac{900}{0{,}831} \approx 1083\ \text{К}$$

Получилась картина: температура сначала выросла с 903 К примерно до 1083 К, а затем упала до 541 К. Значит, внутренняя энергия сначала растёт, потом убывает — она не «только убывает» (утверждение 3 неверное) и не «только возрастает» (утверждение 4 неверное).

Утверждение 5. Газ расширяется: объём растёт с 1,5 л до 4,5 л. Работа газа положительна всегда, когда он расширяется (газ раздвигает окружающую среду). На диаграмме это ещё и площадь под линией процесса — она заведомо не ноль. Утверждение верное.

Проверка себя. Полезный приём для прямых линий на $pV$-диаграмме: температура пропорциональна произведению $pV$, а вдоль наклонной прямой одно растёт, другое падает — поэтому произведение почти всегда сначала растёт, а потом убывает. Проверять концы отрезка недостаточно, обязательно берите точку посередине.

Верны утверждения 1 и 5, записываем цифры подряд по возрастанию.