ID: 00038866
Источник: ФИПИ
Дано: в треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B$, в отношении $5:4$, считая от точки $B$; $BC=12$. Найти радиус описанной окружности.
Шаг 1. Обозначения на чертеже. Пусть $BH$ — высота из вершины $B$, тогда $H$ лежит на прямой $AC$ и $\angle AHB=90^{\circ}$. Пусть биссектриса угла $A$ пересекает $BH$ в точке $P$; по условию $BP:PH=5:4$.
Шаг 2. Свойство биссектрисы в треугольнике $ABH$. Точка $H$ лежит на луче $AC$, поэтому биссектриса угла $BAC$ — это и биссектриса угла $BAH$ треугольника $ABH$, проведённая к стороне $BH$. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон: $\dfrac{BP}{PH}=\dfrac{AB}{AH}$, значит $\dfrac{AB}{AH}=\dfrac{5}{4}$.
Шаг 3. Находим синус угла $A$. В прямоугольном треугольнике $ABH$ ($\angle H=90^{\circ}$) катет $AH$ прилежит к углу $A$, а $AB$ — гипотенуза, поэтому $\cos A=\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{4}{5}$. Тогда $\sin^{2}A=1-\left(\dfrac{4}{5}\right)^{2}=1-\dfrac{16}{25}=\dfrac{9}{25}$ и $\sin A=\dfrac{3}{5}$.
Шаг 4. Теорема синусов. Сторона $BC$ лежит против угла $A$, поэтому $\dfrac{BC}{\sin A}=2R$ и $R=\dfrac{BC}{2\sin A}=\dfrac{12}{2\cdot\dfrac{3}{5}}=\dfrac{12\cdot 5}{2\cdot 3}=\dfrac{60}{6}=10$.