Треугольники… — Задание 24 ОГЭ по математике №00038867

Дано: в треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B$, в отношении $41:40$, считая от точки $B$; $BC=18$. Найти радиус описанной окружности.

Шаг 1. Обозначения на чертеже. Пусть $BH$ — высота из вершины $B$, тогда $H$ лежит на прямой $AC$ и $\angle AHB=90^{\circ}$. Биссектриса угла $A$ пересекает $BH$ в точке $P$, причём $BP:PH=41:40$.

Шаг 2. Свойство биссектрисы в треугольнике $ABH$. Точка $H$ лежит на луче $AC$, поэтому биссектриса угла $BAC$ служит биссектрисой и для угла $BAH$ треугольника $ABH$, пересекая его сторону $BH$ в точке $P$. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон: $\dfrac{BP}{PH}=\dfrac{AB}{AH}=\dfrac{41}{40}$.

Шаг 3. Находим синус угла $A$. В прямоугольном треугольнике $ABH$ катет $AH$ прилежит к углу $A$, а $AB$ — гипотенуза, поэтому $\cos A=\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{40}{41}$. Тогда $\sin^{2}A=1-\dfrac{1600}{1681}=\dfrac{81}{1681}$ и $\sin A=\dfrac{9}{41}$.

Шаг 4. Теорема синусов. Сторона $BC$ лежит против угла $A$, поэтому $R=\dfrac{BC}{2\sin A}=\dfrac{18}{2\cdot\dfrac{9}{41}}=\dfrac{18\cdot 41}{2\cdot 9}=\dfrac{738}{18}=41$.