Треугольники… — Задание 24 ОГЭ по математике №00038868

Дано: в треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B$, в отношении $13:12$, считая от точки $B$; $BC=10$. Найти радиус описанной окружности.

Шаг 1. Обозначения на чертеже. Пусть $BH$ — высота из вершины $B$, тогда $H$ лежит на прямой $AC$ и $\angle AHB=90^{\circ}$. Биссектриса угла $A$ пересекает $BH$ в точке $P$, причём $BP:PH=13:12$.

Шаг 2. Свойство биссектрисы в треугольнике $ABH$. Так как $H$ лежит на луче $AC$, биссектриса угла $BAC$ является биссектрисой и угла $BAH$ треугольника $ABH$ и пересекает противоположную сторону $BH$ в точке $P$. По свойству биссектрисы треугольника $\dfrac{BP}{PH}=\dfrac{AB}{AH}$, то есть $\dfrac{AB}{AH}=\dfrac{13}{12}$.

Шаг 3. Находим синус угла $A$. Треугольник $ABH$ прямоугольный, $AH$ — прилежащий к углу $A$ катет, $AB$ — гипотенуза, поэтому $\cos A=\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{12}{13}$. Тогда $\sin^{2}A=1-\dfrac{144}{169}=\dfrac{25}{169}$ и $\sin A=\dfrac{5}{13}$.

Шаг 4. Теорема синусов. Сторона $BC$ лежит против угла $A$, значит $R=\dfrac{BC}{2\sin A}=\dfrac{10}{2\cdot\dfrac{5}{13}}=\dfrac{10\cdot 13}{2\cdot 5}=\dfrac{130}{10}=13$.