Треугольники… — Задание 24 ОГЭ по математике №00038841

Дано: остроугольный треугольник $ABC$, $BB_{1}$ и $CC_{1}$ — его высоты. Надо доказать, что $\angle BB_{1}C_{1}=\angle BCC_{1}$.

Шаг 1. Ищем прямые углы над общим отрезком. $BB_{1}$ — высота к стороне $AC$, значит $BB_{1}\perp AC$; точка $C$ лежит на прямой $AC$, поэтому $\angle BB_{1}C=90^{\circ}$. $CC_{1}$ — высота к стороне $AB$, значит $CC_{1}\perp AB$; точка $B$ лежит на прямой $AB$, поэтому $\angle BC_{1}C=90^{\circ}$. Оба прямых угла «смотрят» на один и тот же отрезок $BC$ — из точек $B_{1}$ и $C_{1}$.

Шаг 2. Вспомогательная окружность. Точка, из которой отрезок виден под прямым углом, лежит на окружности, построенной на этом отрезке как на диаметре (следствие теоремы о вписанном угле: угол, опирающийся на диаметр, прямой). Значит, $B_{1}$ и $C_{1}$ лежат на окружности с диаметром $BC$, и все четыре точки $B$, $C$, $B_{1}$, $C_{1}$ лежат на одной окружности.

Шаг 3. Два вписанных угла на одну дугу. Рассмотрим хорду $BC_{1}$. Угол $BB_{1}C_{1}$ — вписанный угол с вершиной $B_{1}$, опирающийся на эту хорду; угол $BCC_{1}$ — вписанный угол с вершиной $C$, опирающийся на ту же хорду. Треугольник остроугольный, основания высот лежат на самих сторонах, поэтому точки $B_{1}$ и $C$ находятся по одну сторону от прямой $BC_{1}$, то есть углы опираются на одну и ту же дугу.

Шаг 4. Вывод. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны, поэтому $\angle BB_{1}C_{1}=\angle BCC_{1}$. Что и требовалось доказать.