Треугольники… — Задание 24 ОГЭ по математике №00038836

Дано: остроугольный треугольник $ABC$, $AA_{1}$ и $BB_{1}$ — его высоты. Надо доказать, что $\angle AA_{1}B_{1}=\angle ABB_{1}$.

Шаг 1. Ищем прямые углы над общим отрезком. $AA_{1}$ — высота к стороне $BC$, значит $AA_{1}\perp BC$, а точка $B$ лежит на прямой $BC$, поэтому $\angle AA_{1}B=90^{\circ}$. $BB_{1}$ — высота к стороне $AC$, значит $BB_{1}\perp AC$, а точка $A$ лежит на прямой $AC$, поэтому $\angle AB_{1}B=90^{\circ}$. Оба прямых угла «смотрят» на один и тот же отрезок $AB$.

Шаг 2. Вспомогательная окружность. Точка, из которой отрезок виден под прямым углом, лежит на окружности, построенной на этом отрезке как на диаметре (следствие теоремы о вписанном угле). Поэтому точки $A_{1}$ и $B_{1}$ лежат на окружности с диаметром $AB$, и четыре точки $A$, $B$, $A_{1}$, $B_{1}$ лежат на одной окружности.

Шаг 3. Два вписанных угла на одну дугу. Возьмём хорду $AB_{1}$. Угол $AA_{1}B_{1}$ — вписанный угол с вершиной $A_{1}$, опирающийся на хорду $AB_{1}$; угол $ABB_{1}$ — вписанный угол с вершиной $B$, опирающийся на ту же хорду. Треугольник остроугольный, основания высот лежат на самих сторонах, поэтому вершины $A_{1}$ и $B$ находятся по одну сторону от прямой $AB_{1}$ — оба угла опираются на одну и ту же дугу.

Шаг 4. Вывод. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны, значит $\angle AA_{1}B_{1}=\angle ABB_{1}$. Что и требовалось доказать.