Треугольники… — Задание 24 ОГЭ по математике №00038835

Дано: остроугольный треугольник $ABC$, $AA_{1}$ и $CC_{1}$ — его высоты. Надо доказать, что $\angle AA_{1}C_{1}=\angle ACC_{1}$.

Шаг 1. Ищем прямые углы над общим отрезком. $AA_{1}$ — высота к стороне $BC$, поэтому $AA_{1}\perp BC$ и, так как точка $C$ лежит на прямой $BC$, $\angle AA_{1}C=90^{\circ}$. $CC_{1}$ — высота к стороне $AB$, поэтому $CC_{1}\perp AB$ и, так как точка $A$ лежит на прямой $AB$, $\angle AC_{1}C=90^{\circ}$. Оба прямых угла «смотрят» на один и тот же отрезок $AC$ — из точек $A_{1}$ и $C_{1}$.

Шаг 2. Вспомогательная окружность. Если отрезок виден из точки под прямым углом, то эта точка лежит на окружности, построенной на отрезке как на диаметре (это следствие теоремы о вписанном угле: вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой). Значит, точки $A_{1}$ и $C_{1}$ лежат на окружности с диаметром $AC$, и все четыре точки $A$, $C$, $A_{1}$, $C_{1}$ лежат на одной окружности.

Шаг 3. Два вписанных угла на одну дугу. Рассмотрим хорду $AC_{1}$ этой окружности. Угол $AA_{1}C_{1}$ — вписанный угол с вершиной $A_{1}$, опирающийся на хорду $AC_{1}$; угол $ACC_{1}$ — вписанный угол с вершиной $C$, опирающийся на ту же хорду $AC_{1}$. Треугольник остроугольный, поэтому основания высот лежат на самих сторонах, и вершины $A_{1}$ и $C$ оказываются по одну сторону от прямой $AC_{1}$ — то есть оба угла опираются на одну и ту же дугу.

Шаг 4. Вывод. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны, поэтому $\angle AA_{1}C_{1}=\angle ACC_{1}$. Что и требовалось доказать.