Треугольники… — Задание 24 ОГЭ по математике №00038832

Дано: остроугольный треугольник $ABC$, $AA_{1}$ и $BB_{1}$ — его высоты. Надо доказать, что $\angle BB_{1}A_{1}=\angle BAA_{1}$.

Шаг 1. Ищем прямые углы, опирающиеся на общий отрезок. $AA_{1}$ — высота, проведённая к стороне $BC$, значит $AA_{1}\perp BC$ и $\angle AA_{1}B=90^{\circ}$. $BB_{1}$ — высота к стороне $AC$, значит $BB_{1}\perp AC$ и $\angle AB_{1}B=90^{\circ}$. Обратим внимание: оба прямых угла «смотрят» на один и тот же отрезок $AB$ — из точки $A_{1}$ и из точки $B_{1}$.

Шаг 2. Строим вспомогательную окружность. Пользуемся утверждением: геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под прямым углом, — окружность, построенная на этом отрезке как на диаметре (следствие теоремы о вписанном угле: вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой). Так как $\angle AA_{1}B=\angle AB_{1}B=90^{\circ}$, точки $A_{1}$ и $B_{1}$ лежат на окружности с диаметром $AB$. Вместе с $A$ и $B$ получаем четыре точки $A$, $B$, $A_{1}$, $B_{1}$ на одной окружности.

Шаг 3. Два вписанных угла на одну дугу. Рассмотрим в этой окружности хорду $BA_{1}$. Угол $BB_{1}A_{1}$ — вписанный угол с вершиной $B_{1}$, опирающийся на хорду $BA_{1}$. Угол $BAA_{1}$ — вписанный угол с вершиной $A$, опирающийся на ту же хорду $BA_{1}$. Треугольник остроугольный, поэтому основания высот $A_{1}$ и $B_{1}$ лежат на самих сторонах, и вершины $A$ и $B_{1}$ оказываются по одну сторону от прямой $BA_{1}$ — значит, оба угла опираются на одну и ту же дугу $BA_{1}$.

Шаг 4. Вывод. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, поэтому $\angle BB_{1}A_{1}=\angle BAA_{1}$. Что и требовалось доказать.