ID: 00038831
Источник: ФИПИ
Дано: в треугольнике $ABC$ угол $ABC$ тупой, $AA_{1}$ и $CC_{1}$ — высоты. Надо доказать, что треугольники $A_{1}BC_{1}$ и $ABC$ подобны.
Шаг 1. Где лежат основания высот. Угол $B$ тупой, поэтому основания высот, проведённых из $A$ и из $C$, попадают не на сами стороны, а на их продолжения: точка $A_{1}$ лежит на продолжении стороны $CB$ за точку $B$, а точка $C_{1}$ — на продолжении стороны $AB$ за точку $B$. Это важно для всей конфигурации.
Шаг 2. Два подобных прямоугольных треугольника. Рассмотрим треугольники $ABA_{1}$ и $CBC_{1}$. В первом $\angle AA_{1}B=90^{\circ}$ (так как $AA_{1}$ — высота к прямой $BC$), во втором $\angle CC_{1}B=90^{\circ}$ (так как $CC_{1}$ — высота к прямой $AB$). Далее, $\angle ABA_{1}=180^{\circ}-\angle ABC$ (углы $ABA_{1}$ и $ABC$ смежные, ведь $A_{1}$ лежит на продолжении $CB$) и точно так же $\angle CBC_{1}=180^{\circ}-\angle ABC$. Значит $\angle ABA_{1}=\angle CBC_{1}$. Итак, у треугольников $ABA_{1}$ и $CBC_{1}$ равны по два угла, и по первому признаку подобия треугольников они подобны.
Шаг 3. Что даёт это подобие. Из подобия $\triangle ABA_{1}\sim\triangle CBC_{1}$ (вершины соответствуют так: $A\leftrightarrow C$, $B\leftrightarrow B$, $A_{1}\leftrightarrow C_{1}$) получаем пропорцию сходственных сторон: $\dfrac{BA_{1}}{BC_{1}}=\dfrac{AB}{CB}$. Перепишем её в удобном виде, поменяв местами средние члены: $\dfrac{BA_{1}}{AB}=\dfrac{BC_{1}}{CB}$.
Шаг 4. Угол между этими сторонами. Сравним углы $A_{1}BC_{1}$ и $ABC$. Луч $BA_{1}$ противоположен лучу $BC$, а луч $BC_{1}$ противоположен лучу $BA$ (это следует из шага 1). Значит, углы $A_{1}BC_{1}$ и $ABC$ — вертикальные, а вертикальные углы равны: $\angle A_{1}BC_{1}=\angle ABC$.
Шаг 5. Собираем подобие. В треугольниках $A_{1}BC_{1}$ и $ABC$ стороны, выходящие из вершины $B$, пропорциональны: $\dfrac{BA_{1}}{BA}=\dfrac{BC_{1}}{BC}$ (шаг 3), а углы между этими сторонами равны (шаг 4). По второму признаку подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними) $\triangle A_{1}BC_{1}\sim\triangle ABC$. Что и требовалось доказать.