ID: 00038043
Диагональ $AC$ ромба $ABCD$ равна 30, а $\mathrm{tg}\,BCA=\dfrac{4}{3}$. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.
Источник: ФИПИ
Диагонали ромба $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ под прямым углом и делятся ею пополам. По условию $AC=30$, значит $OC=\dfrac{30}{2}=15$.
Угол $BCA$ — это угол между диагональю $CA$ и стороной $CB$, то есть угол $BCO$ в прямоугольном треугольнике $BOC$ (прямой угол при вершине $O$). По определению тангенса: $\mathrm{tg}\,BCA=\dfrac{OB}{OC}=\dfrac{4}{3}$.
Отсюда $OB=OC\cdot\mathrm{tg}\,BCA=15\cdot\dfrac{4}{3}=20$, значит вторая диагональ $BD=2\cdot OB=40$.
Сторону ромба находим по теореме Пифагора из треугольника $BOC$: $BC=\sqrt{OC^2+OB^2}=\sqrt{15^2+20^2}=25$.
Площадь ромба через диагонали: $S=\dfrac{AC\cdot BD}{2}=\dfrac{30\cdot40}{2}=600$. Периметр $P=4\cdot BC=4\cdot25=100$.
Для любого многоугольника, описанного около окружности (все стороны касаются её), площадь равна произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр: $S=r\cdot\dfrac{P}{2}$, откуда $r=\dfrac{S}{P/2}=\dfrac{600}{50}=12$.