Окружность,… — Задание 16 ОГЭ по математике №00038043

Диагонали ромба $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ под прямым углом и делятся ею пополам. По условию $AC=30$, значит $OC=\dfrac{30}{2}=15$.

Угол $BCA$ — это угол между диагональю $CA$ и стороной $CB$, то есть угол $BCO$ в прямоугольном треугольнике $BOC$ (прямой угол при вершине $O$). По определению тангенса: $\mathrm{tg}\,BCA=\dfrac{OB}{OC}=\dfrac{4}{3}$.

Отсюда $OB=OC\cdot\mathrm{tg}\,BCA=15\cdot\dfrac{4}{3}=20$, значит вторая диагональ $BD=2\cdot OB=40$.

Сторону ромба находим по теореме Пифагора из треугольника $BOC$: $BC=\sqrt{OC^2+OB^2}=\sqrt{15^2+20^2}=25$.

Площадь ромба через диагонали: $S=\dfrac{AC\cdot BD}{2}=\dfrac{30\cdot40}{2}=600$. Периметр $P=4\cdot BC=4\cdot25=100$.

Для любого многоугольника, описанного около окружности (все стороны касаются её), площадь равна произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр: $S=r\cdot\dfrac{P}{2}$, откуда $r=\dfrac{S}{P/2}=\dfrac{600}{50}=12$.