Окружность,… — Задание 16 ОГЭ по математике №00038029

Диагонали ромба $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ под прямым углом и делятся ею пополам. По условию $AC=8$, значит $OC=\dfrac{8}{2}=4$.

Угол $BCA$ — это угол между диагональю $CA$ и стороной $CB$, то есть угол $BCO$ в прямоугольном треугольнике $BOC$ (прямой угол при вершине $O$). По определению тангенса: $\mathrm{tg}\,BCA=\dfrac{OB}{OC}=0{,}75$.

Отсюда $OB=OC\cdot\mathrm{tg}\,BCA=4\cdot\dfrac{3}{4}=3$, значит вторая диагональ $BD=2\cdot OB=6$.

Сторону ромба находим по теореме Пифагора из треугольника $BOC$: $BC=\sqrt{OC^2+OB^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$.

Площадь ромба через диагонали: $S=\dfrac{AC\cdot BD}{2}=\dfrac{8\cdot6}{2}=24$. Периметр $P=4\cdot BC=4\cdot5=20$.

Для любого многоугольника, описанного около окружности (все стороны касаются её), площадь равна произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр: $S=r\cdot\dfrac{P}{2}$, откуда $r=\dfrac{S}{P/2}=\dfrac{24}{10}=2,4$.