Окружность,… — Задание 16 ОГЭ по математике №00038026

Диагонали ромба $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ под прямым углом и делятся ею пополам. По условию $AC=28$, значит $OC=\dfrac{28}{2}=14$.

Угол $BCA$ — это угол между диагональю $CA$ и стороной $CB$, то есть угол $BCO$ в прямоугольном треугольнике $BOC$ (прямой угол при вершине $O$). По определению тангенса: $\mathrm{tg}\,BCA=\dfrac{OB}{OC}=\dfrac{24}{7}$.

Отсюда $OB=OC\cdot\mathrm{tg}\,BCA=14\cdot\dfrac{24}{7}=48$, значит вторая диагональ $BD=2\cdot OB=96$.

Сторону ромба находим по теореме Пифагора из треугольника $BOC$: $BC=\sqrt{OC^2+OB^2}=\sqrt{14^2+48^2}=50$.

Площадь ромба через диагонали: $S=\dfrac{AC\cdot BD}{2}=\dfrac{28\cdot96}{2}=1344$. Периметр $P=4\cdot BC=4\cdot50=200$.

Для любого многоугольника, описанного около окружности (все стороны касаются её), площадь равна произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр: $S=r\cdot\dfrac{P}{2}$, откуда $r=\dfrac{S}{P/2}=\dfrac{1344}{100}=13,44$.