Окружность,… — Задание 3 ОГЭ по математике №00025146

Задание №16. Окружность, круг и их элементы

Окружность, вписанная в многоугольник

№2. Задание 3

ID: 00025146

Две подруги Ира и Ева задумались о том, как рассчитать площадь поверхности зонта. Купол зонта состоит из десяти отдельных клиньев, натянутых на каркас из десяти спиц. Расстояние между концами соседних спиц $$a$$ равно 36 см. Высота купола зонта $$h$$ равна 20 см, а расстояние $$d$$ между концами спиц, образующих дугу окружности, проходящей через вершину зонта, — ровно 116 см (см. рисунки).

https://cdn.global-ee.ru/tasks/ba69d666-5ed6-48c4-b48f-97096c361495/9f3ed6ac-4a1c-46b0-bc08-0ce8f03c9588.webp

Ева предположила, что купол зонта имеет форму сферического сегмента. Вычислите радиус $$R$$ сферы купола, зная, что $$OC=R$$ (см. рисунок). Ответ дайте в сантиметрах.

Источник: Сборник Ященко 2026

Решение

💡 Идея. $$O$$ — центр сферы, а точка на краю купола удалена от него тоже на $$R$$ — это даёт прямоугольный треугольник, где можно применить теорему Пифагора.

По рисунку центр $$O$$ находится на высоте $$h$$ ниже вершины $$C$$ купола, а расстояние от $$O$$ до края купола (половины хорды $$d$$ ) — это тоже радиус $$R$$ , потому что край купола лежит на той же сфере. Половина хорды $$d$$ равна:

$\dfrac{d}{2} = \dfrac{116}{2} = 58 \text{ см}.$

Прямоугольный треугольник образуют: катет $\dfrac{d}{2}=58$ , катет $$R-h$$ (расстояние от центра сферы до плоскости основания купола) и гипотенуза $$R$$ . По теореме Пифагора:

$$$R^2 = 58^2 + (R-h)^2.$$$

Подставляем $$h=20$$ и раскрываем скобку:

$$$R^2 = 3364 + R^2 - 40R + 400.$$$

Слагаемые $$R^2$$ взаимно уничтожаются — остаётся линейное уравнение:

$0 = 3764 - 40R \quad\Rightarrow\quad R = \dfrac{3764}{40} = 94{,}1.$

Радиус сферы равен $$94{,}1$$ см.

Проверка: $$R-h=74{,}1$$ ; $74{,}1^2+58^2=5490{,}81+3364=8854{,}81$ , а $94{,}1^2=8854{,}81$ — сошлось.

Ответ

94,1

Другие задания по теме «Окружность, вписанная в многоугольник» (8)