Треугольники… — Задание 24 ОГЭ по математике №00025002

💡 Идея. Так как угол $BAC$ тупой, основания высот $B_1$ и $C_1$ падают не на сами стороны, а на их продолжения за точку $A$ — и вокруг вершины $A$ возникают вертикальные углы.

Высота $BB_1$ опущена на прямую $AC$, высота $CC_1$ — на прямую $AB$. Точка $B_1$ лежит на продолжении $CA$ за точку $A$, а точка $C_1$ — на продолжении $BA$ за точку $A$: у тупоугольного треугольника высоты из вершин острых углов проходят снаружи.

Рассмотрим треугольники $ABB_1$ и $ACC_1$. Оба прямоугольные: $\angle AB_1B=\angle AC_1C=90^\circ$.

Их углы при вершине $A$ — это $\angle B_1AB$ и $\angle C_1AC$. Лучи $AB_1$ и $AC$ — продолжения друг друга, и лучи $AC_1$ и $AB$ — тоже, поэтому эти углы вертикальные, а вертикальные углы равны.

Правило: если два угла одного треугольника равны двум углам другого, треугольники подобны. Значит, $\triangle ABB_1\sim\triangle ACC_1$, и их стороны пропорциональны:

$$\dfrac{AB_1}{AC_1}=\dfrac{AB}{AC},\qquad\text{то есть}\qquad \dfrac{AB_1}{AB}=\dfrac{AC_1}{AC}.$$

Теперь сравниваем сами треугольники $AB_1C_1$ и $ABC$. Угол $B_1AC_1$ равен углу $BAC$ — снова как вертикальный: его стороны — продолжения сторон угла $BAC$.

Получили: угол между сторонами один и тот же, а стороны, образующие его, пропорциональны — $\dfrac{AB_1}{AB}=\dfrac{AC_1}{AC}$.

Правило (второй признак подобия): если угол одного треугольника равен углу другого, а прилежащие к этим углам стороны пропорциональны, треугольники подобны.

Значит, $\triangle AB_1C_1\sim\triangle ABC$, что и требовалось доказать.