ID: 00025002
В треугольнике ABC с тупым углом BAC проведены высоты BB_1 и CC_1. Докажите, что треугольники AB_1C_1 и ABC подобны.
Источник: Сборник Ященко 2026
💡 Идея. Так как угол BAC тупой, основания высот B_1 и C_1 падают не на сами стороны, а на их продолжения за точку A — и вокруг вершины A возникают вертикальные углы.
Высота BB_1 опущена на прямую AC, высота CC_1 — на прямую AB. Точка B_1 лежит на продолжении CA за точку A, а точка C_1 — на продолжении BA за точку A: у тупоугольного треугольника высоты из вершин острых углов проходят снаружи.
Рассмотрим треугольники ABB_1 и ACC_1. Оба прямоугольные: \angle AB_1B=\angle AC_1C=90^\circ.
Их углы при вершине A — это \angle B_1AB и \angle C_1AC. Лучи AB_1 и AC — продолжения друг друга, и лучи AC_1 и AB — тоже, поэтому эти углы вертикальные, а вертикальные углы равны.
Правило: если два угла одного треугольника равны двум углам другого, треугольники подобны. Значит, \triangle ABB_1\sim\triangle ACC_1, и их стороны пропорциональны:
\dfrac{AB_1}{AC_1}=\dfrac{AB}{AC},\qquad\text{то есть}\qquad \dfrac{AB_1}{AB}=\dfrac{AC_1}{AC}.
Теперь сравниваем сами треугольники AB_1C_1 и ABC. Угол B_1AC_1 равен углу BAC — снова как вертикальный: его стороны — продолжения сторон угла BAC.
Получили: угол между сторонами один и тот же, а стороны, образующие его, пропорциональны — \dfrac{AB_1}{AB}=\dfrac{AC_1}{AC}.
Правило (второй признак подобия): если угол одного треугольника равен углу другого, а прилежащие к этим углам стороны пропорциональны, треугольники подобны.
Значит, \triangle AB_1C_1\sim\triangle ABC, что и требовалось доказать.