ID: 00024980
Точка P — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что сумма площадей треугольников ADP и BCP равна половине площади трапеции.
Источник: Сборник Ященко 2026
💡 Идея. Середина боковой стороны лежит на средней линии трапеции, а средняя линия проходит ровно посередине между основаниями — обе высоты сразу станут известны.
Пусть BC и AD — основания трапеции, а h — её высота, то есть расстояние между параллельными прямыми BC и AD.
Точка P — середина боковой стороны CD, значит, она лежит на средней линии трапеции. Правило: средняя линия параллельна основаниям и удалена от каждого из них на половину высоты. Поэтому расстояние от P и до прямой AD, и до прямой BC равно \dfrac{h}{2}.
Считаем площадь треугольника ADP: основание AD, высота — расстояние от P до прямой AD:
S_{ADP}=\dfrac{1}{2}\cdot AD\cdot\dfrac{h}{2}.
Аналогично для треугольника BCP: основание BC, высота — расстояние от P до прямой BC:
S_{BCP}=\dfrac{1}{2}\cdot BC\cdot\dfrac{h}{2}.
Складываем и выносим общий множитель:
S_{ADP}+S_{BCP}=\dfrac{h}{4}\,(AD+BC)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{AD+BC}{2}\cdot h.
Обрати внимание: справа получилась ровно половина формулы площади трапеции S_{ABCD}=\dfrac{AD+BC}{2}\cdot h.
S_{ADP}+S_{BCP}=\dfrac{1}{2}\,S_{ABCD},
что и требовалось доказать. Заодно видно, что на оставшийся треугольник ABP приходится вторая половина площади.