Треугольники… — Задание 24 ОГЭ по математике №00024980

💡 Идея. Середина боковой стороны лежит на средней линии трапеции, а средняя линия проходит ровно посередине между основаниями — обе высоты сразу станут известны.

Пусть $BC$ и $AD$ — основания трапеции, а $h$ — её высота, то есть расстояние между параллельными прямыми $BC$ и $AD$.

Точка $P$ — середина боковой стороны $CD$, значит, она лежит на средней линии трапеции. Правило: средняя линия параллельна основаниям и удалена от каждого из них на половину высоты. Поэтому расстояние от $P$ и до прямой $AD$, и до прямой $BC$ равно $\dfrac{h}{2}$.

Считаем площадь треугольника $ADP$: основание $AD$, высота — расстояние от $P$ до прямой $AD$:

$$S_{ADP}=\dfrac{1}{2}\cdot AD\cdot\dfrac{h}{2}.$$

Аналогично для треугольника $BCP$: основание $BC$, высота — расстояние от $P$ до прямой $BC$:

$$S_{BCP}=\dfrac{1}{2}\cdot BC\cdot\dfrac{h}{2}.$$

Складываем и выносим общий множитель:

$$S_{ADP}+S_{BCP}=\dfrac{h}{4}\,(AD+BC)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{AD+BC}{2}\cdot h.$$

Обрати внимание: справа получилась ровно половина формулы площади трапеции $S_{ABCD}=\dfrac{AD+BC}{2}\cdot h$.

$$S_{ADP}+S_{BCP}=\dfrac{1}{2}\,S_{ABCD},$$

что и требовалось доказать. Заодно видно, что на оставшийся треугольник $ABP$ приходится вторая половина площади.