ID: 00024882
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AH и BK. Докажите, что углы AHK и ABK равны.
Источник: Сборник Ященко 2026
💡 Идея. точки H и K «видят» отрезок AB под прямым углом — значит, все четыре точки лежат на одной окружности, а там равные вписанные углы найдутся сами.
AH — высота, то есть AH\perp BC. Значит, \angle AHB=90^\circ — точка H видит отрезок AB под прямым углом.
BK — высота, то есть BK\perp AC. Значит, \angle AKB=90^\circ — точка K тоже видит отрезок AB под прямым углом.
Правило: вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой — и наоборот, если отрезок виден из точки под прямым углом, точка лежит на окружности с диаметром на этом отрезке.
Поэтому обе точки H и K лежат на окружности с диаметром AB: все четыре точки A, B, H, K — на одной окружности.
Теперь смотрим на углы из условия как на вписанные в эту окружность.
\angle AHK — вписанный угол с вершиной H, опирающийся на дугу AK (ту, что не содержит H).
\angle ABK — вписанный угол с вершиной B, опирающийся на ту же дугу AK: вершины H и B лежат по одну сторону от хорды AK.
Правило: вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Значит,
\angle AHK=\angle ABK,
что и требовалось доказать.
Проверка себя: треугольник остроугольный, поэтому основания высот H и K лежат на самих сторонах, и обе вершины углов действительно оказываются на окружности по одну сторону от AK — рассуждение законно.
Доказано: \angle AHK=\angle ABK — точки H и K лежат на окружности с диаметром AB, углы вписанные и опираются на одну дугу AK