Треугольники… — Задание 24 ОГЭ по математике №00024882

💡 Идея. точки $H$ и $K$ «видят» отрезок $AB$ под прямым углом — значит, все четыре точки лежат на одной окружности, а там равные вписанные углы найдутся сами.

$AH$ — высота, то есть $AH\perp BC$. Значит, $\angle AHB=90^\circ$ — точка $H$ видит отрезок $AB$ под прямым углом.

$BK$ — высота, то есть $BK\perp AC$. Значит, $\angle AKB=90^\circ$ — точка $K$ тоже видит отрезок $AB$ под прямым углом.

Правило: вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой — и наоборот, если отрезок виден из точки под прямым углом, точка лежит на окружности с диаметром на этом отрезке.

Поэтому обе точки $H$ и $K$ лежат на окружности с диаметром $AB$: все четыре точки $A$, $B$, $H$, $K$ — на одной окружности.

Теперь смотрим на углы из условия как на вписанные в эту окружность.

$\angle AHK$ — вписанный угол с вершиной $H$, опирающийся на дугу $AK$ (ту, что не содержит $H$).

$\angle ABK$ — вписанный угол с вершиной $B$, опирающийся на ту же дугу $AK$: вершины $H$ и $B$ лежат по одну сторону от хорды $AK$.

Правило: вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Значит,

$$\angle AHK=\angle ABK,$$

что и требовалось доказать.

Проверка себя: треугольник остроугольный, поэтому основания высот $H$ и $K$ лежат на самих сторонах, и обе вершины углов действительно оказываются на окружности по одну сторону от $AK$ — рассуждение законно.