Треугольники… — Задание 24 ОГЭ по математике №00009791

💡 Идея. основания высот лежат на окружности с диаметром-стороной — отсюда подобие.

В треугольнике $ABC$ с тупым углом проведены высоты $AA_{1}$ и $CC_{1}$ из вершин $A$ и $C$; их основания — $A_{1}$ и $C_{1}$.

Высоты перпендикулярны сторонам, поэтому из точек $A_{1}$ и $C_{1}$ отрезок $AC$ виден под прямым углом, и точки $A_{1},C_{1}$ лежат на окружности с диаметром $AC$.

Значит четырёхугольник с вершинами $A,C,A_{1},C_{1}$ вписанный, откуда $\angle BA_{1}C_{1}=\angle BAC$ (через равные вписанные углы).

В треугольниках $A_{1}BC_{1}$ и $ABC$ угол при вершине $B$ общий, а вторая пара углов равна по доказанному, поэтому они подобны по двум углам.

Подобие доказано, что и требовалось.