В треугольнике ABC с тупым углом ABC проведены высоты AA индекс 1 , CC индекс 1 . Докажите, что треугольники A индекс 1 BC индекс 1 , ABC подобны.

Задание 24 ОГЭ по математике: В треугольнике ABC с тупым углом ABC проведены высоты AA индекс…

№2. Задание 24

ID: 00006378

В треугольнике $ABC$ с тупым углом $ABC$ проведены высоты $AA_1$ , $CC_1$ . Докажите, что треугольники $A_1BC_1$ , $ABC$ подобны.

Источник: ФИПИ

Решение

💡 Идея. основания высот лежат на окружности с диаметром-стороной — отсюда подобие.

В треугольнике $ABC$ с тупым углом проведены высоты $AA_{1}$ и $CC_{1}$ из вершин $A$ и $C$ ; их основания — $A_{1}$ и $C_{1}$ .

Высоты перпендикулярны сторонам, поэтому из точек $A_{1}$ и $C_{1}$ отрезок $AC$ виден под прямым углом, и точки $A_{1},C_{1}$ лежат на окружности с диаметром $AC$ .

Значит четырёхугольник с вершинами $A,C,A_{1},C_{1}$ вписанный, откуда $\angle BA_{1}C_{1}=\angle BAC$ (через равные вписанные углы).

В треугольниках $A_{1}BC_{1}$ и $ABC$ угол при вершине $B$ общий, а вторая пара углов равна по доказанному, поэтому они подобны по двум углам.

Подобие доказано, что и требовалось.