Треугольники… — Задание 24 ОГЭ по математике №00006374

💡 Идея. перпендикуляры от точки к двум противоположным сторонам в сумме дают высоту параллелограмма.

Пусть в параллелограмме $ABCD$ выбрана точка $E$; обозначим сторону $BC=AD=a$ и высоту параллелограмма (расстояние между прямыми $BC$ и $AD$) через $h$.

Опустим из точки $E$ перпендикуляры на прямые $BC$ и $AD$; их длины $h_1$ и $h_2$ в сумме дают высоту параллелограмма: $h_1+h_2=h$.

Площадь треугольника с основанием $BC$ и вершиной $E$ равна $\dfrac{1}{2}a\,h_1$, а треугольника с основанием $AD$ и вершиной $E$ — $\dfrac{1}{2}a\,h_2$.

Сложим: $\dfrac{1}{2}a\,h_1+\dfrac{1}{2}a\,h_2=\dfrac{1}{2}a(h_1+h_2)=\dfrac{1}{2}a\,h$.

Но $a\,h$ — это площадь параллелограмма $S$, поэтому сумма площадей треугольников равна $\dfrac{1}{2}S$, что и требовалось доказать.