ID: 00006370
На средней линии трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ выбрали произвольную точку $E$. Докажите, что сумма площадей треугольников $BEC$ и $AED$ равна половине площади трапеции.
Источник: ФИПИ
💡 Идея. точка средней линии одинаково удалена от обоих оснований — сумма площадей выходит половиной.
Пусть основания трапеции $ABCD$ равны $a=BC$ и $b=AD$, высота равна $h$; площадь $S=\dfrac{a+b}{2}\,h$.
Точка $E$ лежит на средней линии, поэтому она удалена от обоих оснований на одно и то же расстояние $\dfrac{h}{2}$.
Высота треугольника с вершиной $E$ и основанием $BC$ равна $\dfrac{h}{2}$, поэтому его площадь равна $\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot\dfrac{h}{2}$.
Аналогично площадь треугольника с вершиной $E$ и основанием $AD$ равна $\dfrac{1}{2}\cdot b\cdot\dfrac{h}{2}$.
Сумма площадей: $\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{h}{2}(a+b)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{a+b}{2}\,h=\dfrac{1}{2}S$ — половина площади трапеции, что и требовалось доказать.