ID: 00035618
В параллелограмме $ABCD$ отмечена точка $M$ — середина стороны $BC$. Отрезки $BD$ и $AM$ пересекаются в точке $K$. Найдите длину отрезка $BK$, если $BD=12$.
Источник: ФИПИ
Введём векторы от точки $A$: пусть $\vec{AB}=b$, $\vec{AD}=d$, тогда $C=b+d$, а $M$ — середина $BC$: $M=b+\dfrac{d}{2}$.
Точка $K$ лежит и на прямой $AM$ (то есть $K=t\left(b+\dfrac d2\right)$), и на диагонали $BD$ (то есть $K=b+s(d-b)$ для некоторого $s$). Сравнивая коэффициенты при $b$ и $d$, получаем $t=1-s$ и $\dfrac t2=s$, откуда $s=\dfrac13$.
Значит точка $K$ делит $BD$ в отношении $BK:KD=1:2$, считая от $B$:
$$BK=\dfrac13\cdot BD=\dfrac13\cdot12=4.$$