ID: 00035453
Сумма двух углов ромба равна $240^{\circ}$, а его периметр равен $20$. Найдите длину меньшей диагонали ромба.
Источник: ФИПИ
Сторона ромба — четверть периметра:
$$a=\dfrac{20}{4}=5.$$
В ромбе противоположные углы равны, а соседние в сумме дают $180^\circ$. Раз сумма двух углов равна $240^\circ$ (больше $180^\circ$), это сумма двух равных тупых углов, каждый из которых:
$$\dfrac{240^\circ}{2}=120^\circ.$$
Диагональ, соединяющая вершины с тупым углом $120^\circ$, вместе со стороной образует равнобедренный треугольник с углом $60^\circ$ при вершине между равными сторонами — то есть равносторонний. Значит эта, меньшая диагональ равна стороне:
$$5.$$