ID: 00035144
Сумма двух углов ромба равна $240^{\circ}$, а его меньшая диагональ равна 23. Найдите периметр ромба.
Источник: ФИПИ
Два угла ромба в сумме дают $240^\circ$ — это пара равных (противоположных) тупых углов, каждый по $120^\circ$. Тогда острый угол ромба:
$$180^\circ-120^\circ=60^\circ$$.
Меньшая диагональ соединяет вершины с тупыми углами и раскрывается через теорему косинусов в треугольнике со стороной ромба и острым углом $60^\circ$ между сторонами:
$$d^2=2a^2(1-\cos60^\circ)=2a^2\cdot0{,}5=a^2\ \Rightarrow\ d=a$$.
Значит сторона равна диагонали:
$$a=23$$.
Периметр:
$$P=4a=4\cdot23=92.$$