ID: 00035019
Сумма двух углов ромба равна $120^{\circ}$, а его периметр равен 40. Найдите длину меньшей диагонали ромба.
Источник: ФИПИ
Два угла ромба в сумме дают $120^\circ$ — это пара равных (противоположных) острых углов, каждый по $60^\circ$.
Периметр $40$, значит сторона:
$$a=\dfrac{40}{4}=10$$.
Меньшая диагональ соединяет вершины с тупыми углами и раскрывается через теорему косинусов в треугольнике со стороной ромба и острым углом $60^\circ$ между сторонами:
$$d^2=2a^2(1-\cos60^\circ)=2a^2\cdot0{,}5=a^2\ \Rightarrow\ d=a=10.$$