ID: 00034957
В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^{\circ}$, $AB=57$. Найдите $BD$.
Источник: ФИПИ
Диагонали параллелограмма перпендикулярны только у ромба — значит $ABCD$ ромб, а все его стороны равны $AB=57$.
В параллелограмме сумма соседних углов всегда равна $180^\circ$, а противоположные углы равны между собой. Раз $\angle A+\angle C=120^\circ$, а $\angle A=\angle C$ (противоположные), то:
$$\angle A=\angle C=60^\circ,\qquad \angle B=\angle D=180^\circ-60^\circ=120^\circ.$$
Диагональ $BD$ соединяет вершины с тупым углом $120^\circ$. Рассмотрим треугольник $ABD$: $AB=AD=57$ (сторона ромба), угол между ними $\angle A=60^\circ$ — треугольник равносторонний, значит:
$$BD=AB=57.$$