Четырёхугол… — Задание 12 Базовая Математика №00034338

В ромбе противоположные углы равны, значит два угла из условия, сумма которых $240^\circ$, — это равные тупые углы: каждый по $\dfrac{240^\circ}{2}=120^\circ$. Смежный с ними угол ромба — острый, $180^\circ-120^\circ=60^\circ$.

Диагональ, соединяющая вершины с тупыми углами, лежит в треугольнике, который образуют две стороны ромба длиной $a$ и угол между ними при вершине с острым углом $60^\circ$. По теореме косинусов: $d_1^2=2a^2-2a^2\cos60^\circ=2a^2\cdot0{,}5=a^2$, то есть $d_1=a$.

Диагональ, соединяющая вершины с острыми углами, лежит в треугольнике с углом $120^\circ$ между сторонами: $d_2^2=2a^2-2a^2\cos120^\circ=2a^2\cdot1{,}5=3a^2$, то есть $d_2=a\sqrt3$ — эта диагональ больше.

Значит меньшая диагональ равна стороне ромба: $a=16$. Периметр ромба $P=4a=4\cdot16=64$.