ID: 00033041
Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 13, 17 и 19. Найдите периметр четвёртого прямоугольника.
Источник: ФИПИ
Два разреза делят прямоугольник на четыре части: верхний левый, верхний правый, нижний правый, нижний левый. Обозначим ширины столбцов $w_1,w_2$, высоты строк $h_1,h_2$.
Периметры: верхний левый $=2(w_1+h_1)=13$, верхний правый $=2(w_2+h_1)=17$, нижний правый $=2(w_2+h_2)=19$, нижний левый $=2(w_1+h_2)=?$.
Сложим верхний левый и нижний правый: $2(w_1+h_1)+2(w_2+h_2)=2(w_1+w_2+h_1+h_2)$. Точно такую же сумму даёт верхний правый плюс нижний левый: $2(w_2+h_1)+2(w_1+h_2)=2(w_1+w_2+h_1+h_2)$.
Значит верхний левый $+$ нижний правый $=$ верхний правый $+$ нижний левый, откуда нижний левый $=13+19-17=15$.