ID: 00033039
Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок, делая первый прыжок из начала координат. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, совершив ровно 5 прыжков?
Источник: ФИПИ
Каждый прыжок меняет координату кузнечика на $+1$ или $-1$. После $5$ прыжков координата равна сумме $5$ слагаемых, каждое из которых $\pm1$.
Если среди прыжков $k$ было «вправо», а остальные $5-k$ — «влево», итоговая координата $k-(5-k)=2k-5$. При изменении $k$ от $0$ до $5$ эта величина пробегает $5+1$ различных значений с шагом $2$: от $-5$ до $5$.
Значит, существует $6$ различных точек, в которых кузнечик может оказаться после $5$ прыжков.