Задание 14 ЕГЭ по математике №00043679

Произведение двух скобок равно нулю. Обе скобки имеют смысл при любом $x$, поэтому достаточно приравнять к нулю каждую по отдельности.

Пункт а. Первая скобка:

$$2x^{2}-15x+18=0,\qquad D=15^{2}-4\cdot2\cdot18=225-144=81.$$

$$x_1=\dfrac{15+9}{4}=\dfrac{24}{4}=6,\qquad x_2=\dfrac{15-9}{4}=\dfrac{6}{4}=1{,}5.$$

Вторая скобка. Синус нечётный, поэтому $\sin\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$, а по формуле приведения $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos x$. Значит, $\sin\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)=-\cos x$, и уравнение принимает вид

$$-\sin x\cos x+0{,}25=0\quad\Leftrightarrow\quad \sin x\cos x=0{,}25.$$

Умножим на $2$ и узнаем синус двойного угла: $\sin 2x=0{,}5$.

Решаем относительно угла $2x$: синус равен $\dfrac12$ в двух точках окружности — $\dfrac{\pi}{6}$ и $\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}$:

$$2x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi k\quad\text{или}\quad 2x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k.$$

Теперь делим на $2$ каждую серию целиком, вместе с периодом: $x=\dfrac{\pi}{12}+\pi k$ или $x=\dfrac{5\pi}{12}+\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$.

Пункт б. Отрезок $\left[\dfrac{\pi}{2};\,2\pi\right]$. Приближённо $\dfrac{\pi}{2}\approx1{,}57$, $2\pi\approx6{,}28$, но для строгости опираемся на $\pi\gt 3$.

Число $1{,}5$: $\dfrac{\pi}{2}\gt\dfrac32=1{,}5$, значит, $1{,}5$ левее левого конца — не входит.

Число $6$: $2\pi\gt 6$, а $6\gt\dfrac{\pi}{2}$ (ведь $\pi\lt 4$). Значит, $6$ лежит в отрезке.

Синусные серии переведём в двенадцатые доли $\pi$; отрезок: $\left[\dfrac{6\pi}{12};\,\dfrac{24\pi}{12}\right]$.

Серия $\dfrac{(1+12k)\pi}{12}$: $6\leqslant 1+12k\leqslant 24$, то есть $5\leqslant 12k\leqslant 23$, подходит $k=1$: $\dfrac{13\pi}{12}$.

Серия $\dfrac{(5+12k)\pi}{12}$: $1\leqslant 12k\leqslant 19$, подходит $k=1$: $\dfrac{17\pi}{12}$.

Проверим $x=\dfrac{13\pi}{12}$: $2x=\dfrac{13\pi}{6}$ — та же точка окружности, что $\dfrac{\pi}{6}$, и $\sin 2x=\dfrac12$. Тогда $\sin x\cos x=\dfrac14$, и вторая скобка $-\dfrac14+0{,}25=0$. Верно.