Задание 14 ЕГЭ по математике №00043673

Слева стоит произведение двух множителей, справа — ноль. Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю, а второй при этом имеет смысл. «Капризный» множитель здесь — квадратный корень: он существует только для неотрицательного подкоренного выражения.

Пункт а. Сначала найдём, при каких $x$ корень вообще существует:

$$16-25x^{2}\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad x^{2}\leqslant\dfrac{16}{25}\quad\Leftrightarrow\quad -0{,}8\leqslant x\leqslant 0{,}8.$$

Теперь по очереди приравниваем множители к нулю.

Первый множитель. $\sqrt{16-25x^{2}}=0$ означает $25x^{2}=16$, то есть $x^{2}=\dfrac{16}{25}$ и $x=\pm\dfrac45=\pm0{,}8$. Вторая скобка состоит из степеней, а степени определены при любом $x$. Значит, $x=-0{,}8$ и $x=0{,}8$ — корни уравнения.

Второй множитель. $9^{3x+2}-163\cdot27^{x}+2=0$. Оба основания — степени тройки: $9=3^{2}$, $27=3^{3}$. При возведении степени в степень показатели перемножаются, причём удваивается весь показатель $3x+2$:

$$9^{3x+2}=3^{6x+4}=3^{4}\cdot3^{6x}=81\cdot\left(3^{3x}\right)^{2},\qquad 27^{x}=3^{3x}.$$

Всё выразилось через одну и ту же степень $3^{3x}$. Обозначим $t=3^{3x}$. Степень положительного числа всегда положительна, поэтому $t\gt 0$. Получаем квадратное уравнение:

$$81t^{2}-163t+2=0.$$

Дискриминант: $D=163^{2}-4\cdot81\cdot2=26569-648=25921=161^{2}$. Корни:

$$t_1=\dfrac{163+161}{2\cdot81}=\dfrac{324}{162}=2,\qquad t_2=\dfrac{163-161}{162}=\dfrac{2}{162}=\dfrac{1}{81}.$$

Оба значения положительны. Возвращаемся к $x$.

Если $3^{3x}=\dfrac{1}{81}=3^{-4}$, то $3x=-4$ и $x=-\dfrac43$. Но $-\dfrac43\approx-1{,}33$ меньше, чем $-0{,}8$: под корнем получилось бы $16-25\cdot\dfrac{16}{9}=16-\dfrac{400}{9}\lt 0$. Корень не существует, поэтому это значение отбрасываем.

Если $3^{3x}=2$, то $3x=\log_3 2$ и $x=\dfrac13\log_3 2$. Проверим, подходит ли оно: $1\lt 2\lt 3$, значит, $0\lt\log_3 2\lt 1$ и $0\lt x\lt\dfrac13$. Это внутри промежутка $[-0{,}8;\,0{,}8]$, причём под корнем стоит положительное число. Подходит.

Итак, корни уравнения: $-0{,}8$; $\dfrac13\log_3 2$; $0{,}8$.

Пункт б. Отрезок $[0{,}4;\,4]$.

Число $-0{,}8$ отрицательное — в отрезок не входит. Число $0{,}8$ лежит между $0{,}4$ и $4$ — входит.

Число $\dfrac13\log_3 2$ мы уже оценили: оно меньше $\dfrac13$, а $\dfrac13\lt 0{,}4$. Значит, оно лежит левее отрезка и не входит.

Проверим себя подстановкой $x=0{,}8$ в исходное уравнение: под корнем $16-25\cdot0{,}64=16-16=0$, корень равен нулю, а вторая скобка — какое-то число. Произведение равно нулю — всё сходится.