Задание 14 ЕГЭ по математике №00042111

Пункт а. Тангенс должен существовать: $\cos x\neq0$. Пусть $t=\operatorname{tg}x$:

$$|2t-3|-|5t-7|=-4.$$

Выражения под модулями обнуляются при $t=\dfrac32$ и $t=\dfrac75$. Так как $\dfrac75=1{,}4\lt1{,}5=\dfrac32$, на прямой порядок такой: $\dfrac75$, затем $\dfrac32$.

1) $t\lt\dfrac75$: оба выражения отрицательны, $|2t-3|=3-2t$, $|5t-7|=7-5t$. Уравнение: $(3-2t)-(7-5t)=3t-4=-4$, откуда $t=0$ — подходит, так как $0\lt1{,}4$.

2) $\dfrac75\le t\le\dfrac32$: $|2t-3|=3-2t$, $|5t-7|=5t-7$. Уравнение: $(3-2t)-(5t-7)=10-7t=-4$, откуда $t=2$ — не лежит в $[1{,}4;1{,}5]$, не подходит.

3) $t\gt\dfrac32$: оба выражения положительны. Уравнение: $(2t-3)-(5t-7)=4-3t=-4$, откуда $t=\dfrac83$ — подходит, так как $\dfrac83\approx2{,}67\gt1{,}5$.

Проверим подстановкой. $t=0$: $|-3|-|-7|=3-7=-4$ — верно. $t=\dfrac83$: $\left|\dfrac{16}{3}-3\right|-\left|\dfrac{40}{3}-7\right|=\dfrac73-\dfrac{19}{3}=-4$ — верно. Посторонний $t=2$: $|1|-|3|=-2\neq-4$ — подтверждает, что он не корень.

Возвращаемся к $x$: $\operatorname{tg}x=0$ при $x=\pi n$; $\operatorname{tg}x=\dfrac83$ при $x=\operatorname{arctg}\dfrac83+\pi k$.

Пункт б. Отбор корней. Отрезок $\left[-\dfrac{5\pi}{2};-\pi\right]$ — примерно от $-7{,}85$ до $-3{,}14$. Число $\dfrac83\gt\sqrt3$, поэтому $\operatorname{arctg}\dfrac83$ лежит между $\dfrac{\pi}{3}$ и $\dfrac{\pi}{2}$; точнее, $\operatorname{arctg}\dfrac83\approx1{,}21$.

Серия $x=\pi n$: $-3\pi\approx-9{,}42$ — левее, $-2\pi\approx-6{,}28$ — внутри, $-\pi$ — правый конец, входит.

Серия $x=\operatorname{arctg}\dfrac83+\pi k$: при $k=-2$ получаем $-2\pi+\operatorname{arctg}\dfrac83\approx-5{,}07$ — внутри; при $k=-1$ получаем $\approx-1{,}93$ — правее; при $k=-3$ получаем $\approx-8{,}21$ — левее.

Получаем три корня: $-2\pi$, $-2\pi+\operatorname{arctg}\dfrac83$, $-\pi$.