Задание 14 ЕГЭ по математике №00043672

Пункт а. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а остальные при этом имеют смысл. Здесь первый множитель — квадратный корень, и он существует только при

$$4x^2-1\ge 0\quad\Leftrightarrow\quad x^2\ge\dfrac14\quad\Leftrightarrow\quad x\le -\dfrac12\ \text{или}\ x\ge\dfrac12.$$

Это область допустимых значений: $|x|\ge\dfrac12$.

Первый множитель равен нулю: $4x^2-1=0$, $x=\pm\dfrac12$. Оба в ОДЗ.

Второй множитель равен нулю: $4^{3x+1}-26\cdot 8^x+12=0$. Заметим, что $4^{3x+1}=4\cdot 4^{3x}=4\cdot 64^x=4\cdot(8^x)^2$. Обозначим $t=8^x$, $t\gt 0$:

$$4t^2-26t+12=0\quad\Leftrightarrow\quad 2t^2-13t+6=0.$$

$D=169-48=121$, $t=\dfrac{13\pm 11}{4}$: $t=6$ или $t=\dfrac12$.

$8^x=6$: $x=\log_8 6$. Так как $8^{1/2}=2\sqrt2\approx 2{,}83\lt 6$, то $\log_8 6\gt\dfrac12$ — в ОДЗ.

$8^x=\dfrac12=2^{-1}=8^{-1/3}$: $x=-\dfrac13$. Но $\left|-\dfrac13\right|\lt\dfrac12$ — вне ОДЗ, корень посторонний (корень $\sqrt{4x^2-1}$ при нём не существует).

Пункт б. Отрезок $[-1;1]$. Точки $\pm\dfrac12$ на нём лежат. $\log_8 6\lt 1$, потому что $6\lt 8$; и $\log_8 6\gt\dfrac12$ — значит, тоже на отрезке. Все три корня подходят.

Проверим себя на $x=\log_8 6$: $8^x=6$, $64^x=36$, $4^{3x+1}=4\cdot 36=144$. Вторая скобка: $144-26\cdot 6+12=144-156+12=0$ — верно.