Задание 14 ЕГЭ по математике №00043678

Слева произведение двух скобок, справа ноль. Обе скобки определены при любом $x$ (там нет ни корней, ни дробей, ни логарифмов), поэтому уравнение распадается на два независимых: «первая скобка равна нулю» или «вторая скобка равна нулю».

Пункт а. Первая скобка — обычный квадратный трёхчлен:

$$4x^{2}+16x+15=0,\qquad D=16^{2}-4\cdot4\cdot15=256-240=16.$$

$$x_1=\dfrac{-16+4}{8}=-\dfrac{12}{8}=-1{,}5,\qquad x_2=\dfrac{-16-4}{8}=-\dfrac{20}{8}=-2{,}5.$$

Вторая скобка. По формуле приведения $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x$: функция меняется на синус, а знак берём по второй четверти, где косинус отрицателен. Получаем

$$-\sin x\cos x-0{,}5=0\quad\Leftrightarrow\quad \sin x\cos x=-0{,}5.$$

Произведение $\sin x\cos x$ — это половина синуса двойного угла: $2\sin x\cos x=\sin 2x$. Умножим обе части на $2$:

$$\sin 2x=-1.$$

Синус равен $-1$ только в одной точке окружности — нижней. Поэтому $2x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$, а после деления на $2$ (делится и период): $x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

Это видно и без двойного угла. По модулю произведение $\sin x\cos x$ не больше $\dfrac12$: из $(|\sin x|-|\cos x|)^{2}\geqslant 0$ следует $2|\sin x|\,|\cos x|\leqslant\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$. Крайнее значение получается, только когда $|\sin x|=|\cos x|$, а раз произведение отрицательно, синус и косинус ещё и разных знаков. Это середины II и IV четвертей — противоположные точки $\dfrac{3\pi}{4}$ и $-\dfrac{\pi}{4}$, то есть та же серия $x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi n$.

Пункт б. Отрезок $\left[-2\pi;\,-\dfrac{\pi}{2}\right]$.

Корни трёхчлена — обычные числа, а концы отрезка содержат $\pi$. Сравним строго, пользуясь тем, что $\pi\gt 3$.

Число $-2{,}5$: так как $2\pi\gt 6$, имеем $-2\pi\lt -6\lt -2{,}5$; и так как $\dfrac{\pi}{2}\gt 1{,}5$, имеем $-2{,}5\lt -1{,}5\lt -\dfrac{\pi}{2}$. Значит, $-2{,}5$ лежит в отрезке.

Число $-1{,}5$: из $\dfrac{\pi}{2}\gt 1{,}5$ следует $-\dfrac{\pi}{2}\lt -1{,}5$, то есть $-1{,}5$ правее правого конца. Не входит.

Серия $-\dfrac{\pi}{4}+\pi n=\dfrac{(-1+4n)\pi}{4}$, отрезок в четвертях $\pi$: $\left[-\dfrac{8\pi}{4};\,-\dfrac{2\pi}{4}\right]$. Нужно $-8\leqslant -1+4n\leqslant -2$, то есть $-7\leqslant 4n\leqslant -1$. Подходит только $n=-1$: точка $-\dfrac{5\pi}{4}$.

Проверим $x=-\dfrac{5\pi}{4}$: это та же точка окружности, что и $\dfrac{3\pi}{4}$, поэтому $\cos x=-\dfrac{\sqrt2}{2}$, $\sin x=\dfrac{\sqrt2}{2}$, а $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x=-\dfrac{\sqrt2}{2}$. Вторая скобка: $\left(-\dfrac{\sqrt2}{2}\right)\cdot\left(-\dfrac{\sqrt2}{2}\right)-0{,}5=\dfrac12-\dfrac12=0$. Верно.