Задание 14 ЕГЭ по математике №00042110

Пункт а. Уравнение имеет смысл, когда существует $\operatorname{tg}x$, то есть $\cos x\neq0$. Сделаем замену $t=\operatorname{tg}x$:

$$|2t+5|+|2t-1|=8.$$

Выражения под модулями обращаются в ноль при $t=-\dfrac52$ и $t=\dfrac12$. Эти точки делят прямую на три промежутка; на каждом раскрываем модули со своими знаками.

1) $t\lt-\dfrac52$: оба выражения отрицательны, $-(2t+5)-(2t-1)=-4t-4=8$, откуда $t=-3$. Так как $-3\lt-2{,}5$, корень подходит.

2) $-\dfrac52\le t\le\dfrac12$: первое выражение неотрицательно, второе неположительно, $(2t+5)-(2t-1)=6$. Получаем $6=8$ — неверно, решений нет.

3) $t\gt\dfrac12$: оба выражения положительны, $(2t+5)+(2t-1)=4t+4=8$, откуда $t=1$. Так как $1\gt\dfrac12$, корень подходит.

Проверим другим способом. $|2t+5|+|2t-1|=2\left(\left|t+\dfrac52\right|+\left|t-\dfrac12\right|\right)$, то есть уравнение говорит: сумма расстояний от $t$ до точек $-\dfrac52$ и $\dfrac12$ равна $4$. Расстояние между этими точками равно $3$, поэтому $t$ лежит вне отрезка между ними, на $\dfrac{4-3}{2}=\dfrac12$ дальше одного из концов: $t=-3$ или $t=1$. Совпало.

Возвращаемся к $x$. $\operatorname{tg}x=-3$: $x=-\operatorname{arctg}3+\pi k$. $\operatorname{tg}x=1$: $x=\dfrac{\pi}{4}+\pi n$. В этих точках тангенс существует.

Пункт б. Отбор корней. Отрезок $\left[\dfrac{\pi}{2};2\pi\right]$ в радианах — примерно от $1{,}57$ до $6{,}28$; точку $\dfrac{\pi}{2}$ можно сразу исключить, тангенс там не существует. Используем $\operatorname{arctg}3\approx1{,}25$.

Серия $x=-\operatorname{arctg}3+\pi k$: при $k=1$ получаем $\pi-\operatorname{arctg}3\approx1{,}89$ — внутри; при $k=2$ получаем $2\pi-\operatorname{arctg}3\approx5{,}03$ — внутри; при $k=0$ и $k=3$ точки вне отрезка.

Серия $x=\dfrac{\pi}{4}+\pi n$: $\dfrac{\pi}{4}\approx0{,}79$ — левее, $\dfrac{5\pi}{4}\approx3{,}93$ — внутри, $\dfrac{9\pi}{4}\approx7{,}07$ — правее.

Проверка при $x=\dfrac{5\pi}{4}$: $\operatorname{tg}x=1$, $|2+5|+|2-1|=7+1=8$ — верно. При $\operatorname{tg}x=-3$: $|-6+5|+|-6-1|=1+7=8$ — верно.